LAS TECNICAS DE CONTEO [br]Son aquellas que son usadas para enumerar eventos dificiles de cuantificar. La numeracion de puntos en un espacio muestral, en ocasiones es dificil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar. En este caso se recurre al analisis combinatorio, que es una manera mas sofisticada de contar.[br][br]PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO[br][br]1.-Si un evento puede suceder o realizarse de "n" maneras diferentes y si, continuando el procedimiento un segundo ejemplo puede realizarse de "n1" maneras diferentes y asi sucesivamente, entonces el numero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de "n1" * "n2" * "n3".....[br][br]REGLAS GENERALES DEL CONTEO [br]1-regla del producto(multiplicacion)-[br]--Si los eventos A y B pueden ocurrir de "m" y "n" maneras distintas respectivamente, entonces el total de maneras distintas en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado es "m" * "n".[br]Esta regla puede extenderse a tantos eventos como se quiera. El numero total de posibilidades es el producto del numero de posibilidades de cada evento. Por ejemplo, si los eventos "A", "B", "C" y "D" pueden ocurrir de "m", "n", "o" y "p" maneras distintas respectivamente, entonces el total de formas diferentes en que estos eventos pueden ocurrir en ese orden es, "m" * "n" * "o" * "p".[br][br] ~Ejemplo:[br]1.-Una persona para vestirse tiene la posibilidad de escoger entre 2 pares de zapatos, 3 pantalones y [br] 4 blusas ¿De cuantas maneras puede combinar las prendas?[br] SOLUCION: [br] Conocemos que hay 2 posibilidades de combinar los pares de zapatos (Z=2), los pantalones[br] de 3 maneras(P=3), y las blusas de 4(B=4).Entonces Z*P*B= 2*3*4= 24. Existen 24 [br] posibilidades de combinar las prendas.[br][br]2.-¿Cuantos juegos de placas de circulacion para automoviles pueden fabricarse, si se utilizan 3 digitos [br] y tres letras(en ese orden), si no se puede repetir ningun digito ni letra en cada placa, ni se puede [br] utilizar el cero, las letras O, Ñ y W.[br] SOLUCION:[br] Para el primer digito (D1) existen 9 posibilidades al quedar excluido el "0"; para el [br] segundo digito (D2) hay 8 alternativas, al no poder usar el "0" ni el usado en el primer [br] espacio; para el tercer digito (D3) quedan 7 posibilidades.Para la primera letra (L1),[br] se tienen 24 alternativas, ya que de las 27 letras del abecedario, 3 estan restringidas; [br] para la segunda letra (L2) se tienen 23 alternativas y para la letra (L3) quedan 22 [br] posibilidades, por lo que:[br] (D1)*(D2)*(D3)*(L1)*(L2)*(L3)= 9*8*7*24*23*22= 6120576. Se pueden fabricar [br] 6120576 juegos de placas con esas carcteristticas.[br][br]2.- REGLA DE LA SUMA[br][br] ~Si una primera tarea puede realizarse de "m" formas y una segunda tarea puede realizarse de "n" formas y no es posible realizar ambas tareas de manera simultanea entonces para realizar cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de "m"+"n" formas.[br][br] EJEMPLO:[br] 1.-Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofia. Si un estudiante [br] quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la regla de la suma [br] puede elegir entre 40+50= 90 libros.[br] (NOTA: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofia, sino historia o [br] filosofia)[br] La regla puede ampliarse a mas de dos tareas, siempre que ningún par de ellas [br] pueda ocurrir simultáneamente.[br][br][br]Permutaciones[br]~Las permutaciones de un numero "n" de objetos de un conjunto es cualquiera de las diferentes [br] maneras de ubicar esos objetos en un orden definido.[br] *Se utiliza el simbolo (nPn ó P(n) cuando se toman las permutaciones de igual [br] numero [img]https://static.xx.fbcdn.net/images/emoji.php/v9/t7d/1/16/1f44e.png[/img] de elementos u objetos del conjunto.[br]~Si se desean ordenar [img]https://static.xx.fbcdn.net/images/emoji.php/v9/t7d/1/16/1f44e.png[/img] objetos diferentes de una linea, el primer objetos se puede escoger de [img]https://static.xx.fbcdn.net/images/emoji.php/v9/t7d/1/16/1f44e.png[/img] maneras, el segundo de (n-1); y el tercero de (n-2) y asi, sucesivamente, hasta 1.[br][br]nPn= P(n)= (n)(n-1) (n-2)....(1)= n![br][br][br] EJEMPLOS:[br] ~ 1.-¿De cuantas maneras se pueden permutar los 3 digitos del numero 478?[br] SOLUCION:[br] P3=P(3)= 3*2*1= 3!=6[br] Las permutaciones son: 478, 487, 748, 784, 847 y 874.[br][br][br]Cuando las permutaciones se hacen de un tamaño (r) menor al numero [img]https://static.xx.fbcdn.net/images/emoji.php/v9/t7d/1/16/1f44e.png[/img] de elementos del conjunto, se utilizan indistintamente los simbolos (nPr) ó P(n,r).[br]De un grupo [img]https://static.xx.fbcdn.net/images/emoji.php/v9/t7d/1/16/1f44e.png[/img] de objetos, deseamos ordenar (r) objetos de una linea. El primer objeto se puede escoger de [img]https://static.xx.fbcdn.net/images/emoji.php/v9/t7d/1/16/1f44e.png[/img] maneras; el segundo de (n-1) y asi, sucesivamente, de manera que el ultimo de ellos sera (n-(r-1)= n-r+1.[br][br] 2.- ¿Cuantas permutaciones de 2 letras se puede formar a partir de las 5 vocales?[br] SOLUCION:[br] nPr= 5P3= n!/(n-r)! = 5!/(5-2)! = 5!/3!= 20.[br] [br] Las permutaciones son: ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue,[br] ui, uo.[br][br][br] 3.-¿ De cuantas maneras pueden sentarse 12 personas en una banca que solo tiene [br] capacidad para 7?[br][br] SOLUCION:[br] [br] nPr= 12P7= n!/(n-r)! =12!/5!= 3991680.[br][br] [br] CONTENIDO DEL CURSO DE MATEMATICAS DISCRETAS SOBRE PERMUTACIONES [br][br] 1.- PERMUTACIONE[br] A[br] B[br] C[br] D[br][br] 2.- PERMUTACIONES[br][br] ab ba ca da P1: elegir la 1° letra [br] ac bc cb db P2: elegir la 2° letra[br] ad bd cd dc hay 34*3= 12[br][br] 3.- PERMUTACIONES[br][br] P1: elegir la 1° letra 4*3*2=12 resultados [br] P2: elegir la 2° letra 3 permutaciones.[br] P3: elegir la 3° letra[br][br] 4.-PERMUTACIONES[br][br] P1: elegir la 1° letra.[br] P2: elegir la 2° letra. 4*3*2*1= 24.[br] P3: elegir la 3° letra 4 permutaciones posibles [br] P4: elegir la 4° letra.[br][br][br]