Die Funktion [math]$f(x)=2^x$[/math] wird mit den Parametern [math]b[/math], [math]d[/math], [math]c[/math] und [math]k[/math] wie folgt verändert: [math]$g(x)=b\cdot a^{k\cdot (x-c)}+d$[/math][br]Beschreiben Sie die Einflüsse dieser Parameter auf den Funktionsgraphen.
[math]b[/math]: Streckung in [math]y-[/math]Richtung[br][math]d[/math]: Verschiebung in [math]y-[/math]Richtung[br][math]c[/math]: Verschiebung in [math]x-[/math]Richtung[br][math]k[/math]: Streckung in [math]x-[/math]Richtung
Ausserdem lässt sich die Basis [math]a[/math] verändern. Setzen Sie [math]k=2[/math]. Bei welcher Basis zeigt sich der ursprüngliche Funktionsgraph wieder? Suchen Sie mit dem Applet und rechnen Sie dann von Hand nach.
Es gilt: [math]$f(x)=2^{x}=a^{2x}=\left(a^2\right)^x\qquad\Rightarrow a^2=2 \Rightarrow a=\sqrt{2}\approx 1.4$[/math][br]
Setzen Sie nun [math]a=2[/math], [math]k=1[/math] und [math]c=2[/math]. [br]Wie müssen Sie [math]b[/math] wählen, damit der Graph wieder dem ursprünglichen Graph entspricht?[br]Suchen Sie mit dem Applet und rechnen Sie dann von Hand nach.[br]
Es gilt: [math]$f(x)=2^x=b\cdot 2^{x-2}=b\cdot 2^{-2}\cdot 2^x\qquad \Rightarrow \frac{b}{4}=1 \Rightarrow b=4$[/math]
Lösen Sie diese und die folgenden Aufgaben erst dann wenn Sie die eulersche Zahl [math]e[/math] kennen.[br]Stellen Sie alle Werte wieder auf die Anfangsstellungen zurück.[br]Lassen Sie sich nun die Funktion mit Basis [math]e[/math] darstellen. Betrachten Sie die angegebene Gleichung. Zeigen Sie wie der Faktor [math]0.69[/math] berechnet wird.[br][size=85]Hinweis: Um diese Aufgabe lösen zu können brauchen Sie Kenntnisse vom Logarithmus. Falls Sie diese nicht haben, überspringen Sie diese Aufgabe.[/size]
[math]$f\left(x\right)=2^x=e^{p\cdot x}=\left(e^p\right)^x \qquad \Rightarrow e^p=2\quad\Rightarrow p=\log_e(2)=\ln(2)\approx 0.693$[/math]
Welche Parameter werden in der Exponentialfunktion mit Basis [math]e[/math] direkt übernommen und welche müssen umgerechnet werden um den gleichen Effekt zu zeigen?
Die Parameter [math]b[/math] und [math]d[/math] können direkt übernommen werden. [br]Alle anderen Parameter müssen umgerechnet werden.
Zeigen Sie, wie die in Aufgabe 5 bestimmten Parameter umgerechnet werden müssen. (Leiten Sie die Umrechnungen her).[br][size=85]Hinweis: Um diese Aufgabe lösen zu können brauchen Sie Kenntnisse vom Logarithmus. Falls Sie diese nicht haben, überspringen Sie diese Aufgabe.[/size]
[math]k[/math]: [math]$f(x)=2^{kx}=e^{nx}\qquad \Rightarrow 2^k=e^n\quad \Rightarrow n=\ln(2^k)=k\cdot\ln(2)$[/math][br][math]c[/math]: [math]$f(x)=2^{x-c}=e^{x-s}\qquad \Rightarrow 2^{-c}=e^{-s}\quad \Rightarrow s=-\ln(2^{-c})=c\cdot\ln(2)$[/math][br][math]a[/math]: [math]$f(x)=a^{x}=e^{t\cdot x}\qquad \Rightarrow x\ln(a)=tx\quad \Rightarrow t=\ln(a)$[/math]
Exponentialfunktionen werden in Anwendungen oft benutzt um Wachstums- oder Zerfallsprozesse zu simulieren. Dabei starten die Bestände der wachsenden oder zerfallenden Grössen aber selten bei 1. Aus diesem Grund wird die Exponentialfunktion oft so geschrieben: [math]B\left(t\right)=B_0\cdot a^t[/math] . Dabei ist [math]B_0[/math] der Bestand der Grösse zum Zeitpunkt [math]t=0[/math] und wird Startbestand oder Anfangsbestand genannt. Oben entspricht dies dem Parameter [math]b[/math]. [br]Es wird auch die Variable [math]t[/math] anstelle von [math]x[/math] benutzt, um die Zeitabhängigkeit sichtbar zu machen.