El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo determinado por los vectores normales de dichos planos y entre planos y rectas lo podemos establecer con un vector paralelo a la recta (el vector dirección, por ejemplo) y un vector normal.

Para ello conviene recordar que dado un plano π de ecuación π: Ax+By+Cz+D=0, un vector perpendicular a dicho plano (vector normal al plano) es [b]n[/b]=(A,B,C)[br][br][br]Así, si tenemos:[br][list][*]π1 plano con vector normal [b]n[sub]1[/sub][/b].  [/*][*]π2 plano con vector normal [b]n[sub]2[/sub].[/b][/*][/list]

Entonces:

Por lo que para obtener [math]\alpha[/math] nos queda lo siguiente:

De acuerdo a lo anteriormente mencionado, tomamos los vectores normales

Y finalmente obtenemos la fórmula para calcular el ángulos entre planos

[color=#9900ff]EJEMPLO:[/color]

Hallar el ángulo que forman los planos:[br][img]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/07/angulo-de-dos-planos-4.gif[/img][br][br]Obtenemos sus vectores normales [br][img]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/07/angulo-de-dos-planos-5.gif[/img][br][br]Aplicamos la fórmula [br][img]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/07/angulo-de-dos-planos-6.gif[/img][br]Y obtenemos que [br][img]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/07/angulo-de-dos-planos-7.gif[/img]

Una recta puede estar incluida en un plano, ser paralela a él, o bien ser secantes. El ángulo entre ellos se define de la siguiente manera en cada caso:[br][list][*]Si la recta está incluida en el plano o ambos son paralelos, la recta y el plano forman un ángulo de 0∘.[/*][*]Si la recta y el plano son secantes, definimos el ángulo α entre la recta y el plano como el ángulo que forma la recta con su proyección ortogonal sobre el plano.[/*][/list]

Si definimos el ángulo entre la recta y el plano como el ángulo entre la recta y su proyección ortogonal sobre el plano, podemos realizar el cálculo a partir del ángulo entre el vector director de la recta y el vector normal al plano.[br]Por tanto, si tenemos:[br][list][*]π: plano.[/*][*]r: recta.[/*][*]s: recta perpendicular al plano.[/*][*][b]v[sub]r[/sub]:[/b] vector director de la recta r.[/*][*][b]v[sub]p[/sub][/b]: vector director de la proyección de la recta sobre el plano.[/*][*][b]n[/b]: vector normal (perpendicular) al plano (y director de s).[/*][/list]Entonces:[br]

Además, si[b] v[sub]r[/sub][/b]=(v1,v2,v3) y[b] n[/b]=(A,B,C), podemos expresar la fórmula anterior en componentes como:

[color=#9900ff]EJEMPLO:[/color]