In den 2012 von der Freien und Hansestadt Hamburg herausgegebenen Lernaufgaben zur Vorbereitung auf die schriftliche Abiturprüfung im Fach Mathematik wird eine Aufgabe aus dem Abitur 2008 zitiert.[br][br]Nachdem man die Funktionen [math]\sinh(x)=\frac{1}{2}\left( e^{x} - e^{-x}\right)[/math] und [math]\cosh(x)=\frac{1}{2}\left( e^{x} + e^{-x}\right)[/math] definiert hat, heißt es dort:[br][quote]Spannt man ein Seil (oder eine Kette) zwischen zwei gleich[br]hohen Türmen auf, so folgt seine Linie der so genannten[br]Kettenlinie [math]y = k(x) = a \cdot \cosh (b \cdot x)[/math] mit [math]a, b > 0[/math].[br]c) Begründen Sie, dass dabei [math]a[/math] dabei die Höhe des tiefsten Seilpunktes[br]über der Grundebene ist.[br]Untersuchen Sie, wie sich die Kettenlinie ändert, wenn[br]sich bei festgehaltenem [math]a[/math] der Parameter [math]b[/math] vergrößert.[/quote]

Der zitierter Aufgabentext enthält folgenden [b]Fehler[/b]:[br]Eine Kettenlinie liegt bei dieser Funktion [math]k(x)[/math] nur dann vor, wenn [math]a[/math] und [math]b[/math] zu einander reziprok sind, also [math]b=\frac{1}{a}[/math] ist (vgl. Kapitel VII).[br]Dann kann man aber nicht "[math]a[/math] festhalten und [math]b[/math] vergrößern".

Weiter geht es mit Teil d):[br][quote]Ein Seil wird zwischen zwei jeweils 117,8 m hohen Türmen gespannt. Die Türme sind 150 m[br]voneinander entfernt. Das Seil hat in der Mitte einen Bodenabstand von 80 m.[br]Weisen Sie nach, dass die Kettenlinie für dieses Seil der Gleichung [math]k(x) = 80 \cdot \cosh(0,0125\cdot x)[/math][br]folgt.[br]Berechnen Sie den Winkel zwischen Seil und Turm am Befestigungspunkt des Seils.[br]Untersuchen Sie, wie sich die Parameter a und b sowie der eben berechnete Winkel ändern,[br]wenn man das Seil straffer spannt.[/quote][br][br]Die angegebene Funktionsgleichung passt zum Text. Hier liegt auch eine echte Kettenlinie vor, weil mit a=80 und b=0,0125 diese beiden Werte zueinander reziprok sind.[br][br]Der [b]Fehler [/b]im zweiten Teil dieses Aufgabenteils liegt darin, dass wieder [br]suggeriert wird, man könne die Parameter a und b unabhängig voneinander [br]verändern, und damit allein würde schon das straffer gespannte Seil [br]modelliert.[br]In der Erwartungshorizont/Lösungsvorschlag wird argumentiert, dass a größer werden muss, weil der tiefste Punkt bei x=0 bei gestrafftem Seil höher liegen muss. [br]Ich könnte aber auch argumentieren, dass a kleiner werden muss, damit der Graph weniger stark gekrümmt ist. [br][br]Sinnvoll kann man diesen Aufgabenteil eigentlich nur lösen, wenn man von der Funktion[br][math]k_a(x)=a \cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right)\textcolor{red}{ - a \cdot \cosh\left(\frac{75}{a}\right)+117,8}[/math][br]ausgeht (vgl. Kapitel III). Nur dann verläuft der Graph unabhängig vom Wert des Parameters a durch die festen Aufhängepunkte an den Türmen. Wie man leicht nachrechnet, ist [math]k_a(\pm 75) = 117,8[/math] .[br]Mit [math]k_a''(x)=\frac{1}{a}\cdot \cosh\left(\frac{x}{a}\right)[/math] kann man dann argumentieren, dass für x=0 die Krümmung um so geringer wird, je größer a wird.[br]Dass der Winkel zwischen Seil und Turm bei straffer gespanntem Seil dichter an 90° heran geht, ist eigentlich trivial und erfordert keine Berechnung.

Ich unterstelle, der Autor dieser Aufgabe kennt zwar die cosh-Funktion, hat sich aber nicht sehr intensiv mit der Gleichung einer Kettenlinie beschäftigt.