Natürliche Logarithmusfunktion: Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs
Auch die natürliche Logarithmusfunktion zeigt eine Besonderheit beim Grenzwertverhalten
Die natürliche Logarithmusfunktion zeigt genau die umgekehrte Besonderheit wie die natürliche Exponentialfunktion:[br][br][math]ln\left(x\right)[/math][color=#1155cc][b] wächst für [/b][/color][math]x\mapsto\infty[/math][color=#1155cc][b] "langsamer" als jede Potenzfunktion [/b][/color][math]x^r[/math][color=#1155cc][b] mit [/b][/color][math]r\in\mathbb{R}^+[/math][color=#1155cc][b] gegen unendlich.[br][/b][/color][br]Wir betrachten die Funktion [math]h:x\mapsto\frac{ln\left(x\right)}{x^r}[/math].[br]Stelle dir wieder die Frage, ob Zähler oder Nenner schneller gegen unendlich wachsen und bestimme anhand dieser Überlegung den Grenzwert
Grenzwertverhalten von h am Graphen von h erkennen
Überzeuge dich davon, dass der oben gesuchte Grenzwert von h tatsächlich 0 ist für alle Potenzen r. Variiere dazu den Wert von r mit dem Schieberegler und beobachte den Graphen von h (blau) im Bereich x gegen unendlich.
Formuliere in eigenen Worten den Zusammenhang zwischen dem Grenzwertverhalten von h für x gegen unendlich und der Besonderheit im Grenzwertverhalten von ln(x).