Anhand des Einführungsbeispiels haben wir gesehen, wie wir die Ober- bzw. Untersumme berechnen können.[br][br]Zuerst muss ein Intervall [math]\left[a,b\right][/math] in kleinere Teilintervalle [b]zerlegt[/b] werden.[br][br]Dazu müssen wir eine [b]Zerlegung[/b] definieren:

Eine Zerlegung [math]Z[/math] eines Intervalls [math]\left[a,b\right][/math] ist eine endliche Folge von Unterteilungspunkten.[br]Also [math]Z=\left(x_1,x_2,x_3,...x_n\right)[/math].[br][br]Für die Unterteilungspunkte gilt: [math]a=x_0[/math][math]<[/math][math]x_1[/math][math]<[/math][math]x_2[/math][math]<[/math][math]x_3[/math][math]\ldots[/math][math]<[/math][math]x_n=b[/math]

Die Längen der der Teilintervalle [math]\left[x_0,x_1\right][/math], [math]\left[x_1,x_2\right][/math], ...[math]\left[x_{n-1},x_n\right][/math] werden mit [math]\Delta x_1[/math], [math]\Delta x_2[/math], ...[math]\Delta x_n[/math] bezeichnet.

[color=#ff0000]Nun können wir die Obersumme und Untersumme definieren:[/color]

Es sei [math]f\left(x\right)[/math] eine im Intervall [math]\left[a,b\right][/math] [b]stetige[/b] Funktion und [math]Z[/math] eine Zerlegung von [math]\left[a,b\right][/math].[br]Weiters seien [math]m_1,m_2\ldots m_n[/math] die[b] Minimumstellen[/b] von [math]f\left(x\right)[/math] und [math]M_1,M_2,\ldots M_n[/math] die [b]Maximumstellen[/b] von [math]f\left(x\right)[/math] in den jeweiligen Teilintervallen.[br][br]Dann ist die Untersumme von [math]f\left(x\right)[/math] im Intervall [math]\left[a,b\right][/math] mit der Zerlegung [math]Z[/math]:[br][math]U_f\left(Z\right)=f\left(m_1\right)\cdot\Delta x_1+f\left(m_2\right)\cdot\Delta x_2+f\left(m_3\right)\cdot\Delta x_3+\ldots+f\left(m_n\right)\cdot\Delta x_n=\sum_{i=1}^nf\left(m_i\right)\cdot\Delta x_i[/math][br][br]Die Obersumme von [math]f\left(x\right)[/math] im Intervall [math]\left[a,b\right][/math] mit der Zerlegung [math]Z[/math] ist:[br][math]O_f\left(Z\right)=f\left(M_1\right)\cdot\Delta x_1+f\left(M_2\right)\cdot\Delta x_2+f\left(M_3\right)\cdot\Delta x_3+\ldots+f\left(M_n\right)\cdot\Delta x_n=\sum_{i=1}^nf\left(M_i\right)\cdot\Delta x_i[/math]

[b][color=#0000ff]Schreibe die beiden Definitionen in dein Heft![/color][/b]