Siano y=f(x) e y=g(x) due funzioni e l'intervallo [math][a,b]\subset D(f)\cap D(g)[/math], tale che[br][list=1][*]f e g siano [b]continue [/b]nell'intervallo chiuso [math][a,b][/math][/*][*]f e g siano [b]derivabili [/b]nell'intervallo aperto [math]]a,b[[/math][br][/*][*][math]g'(x)\neq 0 \;\; \forall x\in ]a,b[[/math][br][/*][*][math]g(a)\neq g(b)[/math][/*][/list]allora esiste almeno un punto [b]x[sub]0[/sub][/b][math]\in[/math][b]]a,b[[/b] tale che[br][center][b][size=200][math]\large \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g(b)-g(a)}[br][/math][/size][br][/b][/center]

Il Teorema di Cauchy è una generalizzazione del Teorema di Lagrange: infatti nel caso in cui[br][math]\large g(x)=x \rightarrow g(a)=a, g(b)=b, g'(x)=1[/math][br]da cui[br][math]\large \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f'(x_0)}{1}=f'(x_0)[/math][br]e[br][math]\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g(b)-g(a)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math][br]da cui si ottiene[br][center][math]f'(x_0)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math][/center][br]ovvero la tesi del Teorema di Lagrange