Der Abstand zweier Punkte entspricht dem Betrag ihres Verbindungsvektors:[br]Differenzen der einzelnen Koordinaten bilden, dieses quadrieren, aufaddieren und Wurzel ziehen

a) Die Abstandslinie muß immer senkrecht auf beiden Objekten stehen.[br]b) In allen Fällen außer dem Abstand zwischen Punkt und Gerade bei dem nur ein Rchtungsvektor zur Verfügung steht das Kreuzprodukt.

[list=1][*]Differenz der Punktkoordinaten und der Geradengleichung ergibt den allgemeinen Verbindungsvektor zwischen Punkt und Gerade[/*][*]Der Verbindungsvektur muß senkrecht auf der Gerade stehen.[/*][*]Das Skalarprodukt zwischen dem Verbindungsvektor und dem Richtugnsvektor der Gerade muß deshalb Null ergeben.[/*][*]Aus diesem Kriterium durch Lösen der sich ergebenden Gleichung den Wert des Koeffizienten der Geradengleichung bestimen für den der Verbindungsvektor im rechten Winkel auf der Geraden steht[/*][*]Der Betrag des Differenzvektors im rechtwinkligen Fall entspricht dem Abstand von Punkt udn Gerade.[br][/*][/list]

[list=1][*]Einsetzen der Punktkoordinaten in die Hessesche Normalenforn (Normalenform mit Normaleinheitsvektor [math]\vec{n_0}[/math]) der Ebene ergibt direkt den Abstand des Punktes von der Ebene.[/*][*]Sollte die Ebene in anderen Darstellungsformen vorliegen (Parameterform oder Ebenengleichung) Diese in die Normalenform überführen (via Kreuzprodukt der Spannvektoren den Normalenvektor erzeugen, dann auf Betrag 1 bringen und mit Stützvektor Hessesche Normlenform aufschreiben)[br][/*][/list]

[list=1][*]Differenz der Stützvektoren ergibt einen möglichen Verbindungsvektor [math]\vec{v}[/math][/*][*]Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren erzeugt einen zu beiden Geraden orthogonalen Vektor[/*][*][math]\vec{n_0}=\frac{\vec{n}}{\left|\vec{n}\right|}[/math] [br][/*][*]Abstand d: [math]d=\left|\vec{n_0}\cdot\vec{v}\right|[/math][/*][/list]Im Detail siehe: [url=https://www.geogebra.org/m/xurgsjh3#material/gguve4ja]Abstand zweier Geraden: Der Weg über die Projektion[br][/url]

[list=1][*]Allgemeiner Verbindungsvektor zwischen den Geraden: 2 Skalarprodukte[br]Durch Differenz der beiden Geradengleichungen allgemeinen Verbindungsvektor [math]\vec{v}[/math] bilden.[br]Steht der Verbindungsvektor senkrecht auf beiden Geraden, dann ist er die kürzest mögliche Verbindung, sein Betrag ist der Abstand zwischen den Geraden.[br]Nullsetzen der Skalarprodukte von [math]\vec{v}[/math] mit den beiden Richtungsvektoren ergibt den rechtwinkligen Verbindungsvektor.[br]Im Detail: [url=https://www.geogebra.org/m/xurgsjh3#material/fanmrvbq]Abstand zweier Geraden: Der WEg über das Skalarprodukt[br][/url][br][/*][*]Mit einer Hilfsebene[br]Eine Hilfsebene in der eine der beiden Geraden liegt und deren Normalenvektor senkrecht zu beiden Geraden ist (Kreuzprodukt der Richtungsvekoren!) ist damit automatisch parallel zur anderen Gerade.[br]Damit hat die zweite Gerade überall den Gleichen Abstand zur Ebene. [br]Durch Einstzen eines beliebigen Punktes der zweiten Gerade in die Hessesche Normalenform kann dann der Abstand bestimmt werden.[br]Im Detail: [url=https://www.geogebra.org/m/xurgsjh3#material/xgxtz7dw]Abstand zweier Geraden: Der Weg über die Hilfsebene[br][/url][br][/*][*]Mit einer Hilfsgeraden[br]Durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Gerade den paarweise senkrechten Richtungsvektor erzeugen[br]Mit allgemeinem Stützvektor die Geradengleichung der Verbindungsgeraden ansetzen. [br]Durch Gleichsetzen mit den beiden andern Gleichungen Stützvektor bestimmen. [br]Schnitt dieser Geraden mit den beiden Vorgegebenen erzeugt die beiden Abstandspunkte aus deren Abstand dann der Abstand der Geraden berechnet werden kann.[/*][*]Fazit:[br]Im Vergleich zur Projektion alles sehr viel mühsamer...[br][/*][/list]

[list=1][*]Ebenen und Geraden sind entweder parallel oder schneiden sich[/*][*]Führt das LGS beim Lösen des Schnittsproblems zu einem Widerspruch sind Gerade und Ebene parallel[/*][*]Wenn Gerade und Ebene parallel sind, ist jeder Punkt der Gerade gleich weit von der Ebene entfernt.[/*][*]Damit reduziert sich durch Betrachten eines beliebigen Punktes der Geraden das Problem auf die Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene --> s.o.[br][/*][/list]