Vektoren in der Ebene

Vektoren in GeoGebra eingeben

Vektoren können auf 3 Varianten im Algebrafenster erstellt werden:[br][list][*]Durch den Befehl Vektor([Punkt]). (z.B.: Vektor(A) oder Vektor((1,3)) )[/*][*]Durch den Befehl Vektor([Anfangspunkt], [Endpunkt]). (z.B.: Vektor(A,B), Vektor((2,4),(5,6)) )[/*][*]indem man ein Zahlenpaar mit einem Kleinbuchstaben benennt: v=(1,2) ergibt einen Vektor, V=(1,2) ergibt einen Punkt[/*][/list][br]Teste alle Varianten aus!

Vektoren verschieben

Mit dem Werkzeug Vektor können auch Vektoren in der Ebene erstellt werden.[br]So erstellte Vektoren können auch nachher auf der Ebene Verschoben werden.[br][list][*]Erstelle die Punkte A=(3,5) und B=(6,1) mithilfe des Punkt-Werkzeugs [img]data:image/png;base64,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[/img] oder im Algebrafenster.[/*][*]Erstelle anschließend einen Vektor mit dem Vektor-Werkzeug [img]data:image/png;base64,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[/img] oder einem Befehl im Algebrafenster.[/*][*]Wähle anschließend wieder das Bewege-Werkzeug [img]data:image/png;base64,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[/img] aus und verschiebe den Vektor beliebig auf der Ebene. Beobachte, wie sich der Vektor verändert, wenn du ihn verschiebst[/*][/list]

Vektor bestimmen

Die Werte eines Vektors kann man Anhand des Steigungsdreiecks bestimmen.[br][list][*]x-Koordinate oder 1. Eintrag im Vektor ist waagrechte Länge des Steigungsdreiecks[/*][/list][list][*]Zeigt der Vektor nach rechts, ist die x-Koordinate positiv, zeigt er nach links, ist die x-Koordinate negativ.[/*][*]y-Koordinate oder 2. Eintrag im Vektor ist senkrechte Länge des Steigungsdreiecks[/*][*]Zeigt der Vektor nach oben, ist die y-Koordinate positiv, zeigt er nach uten, ist die y-Koordinate negativ.[/*][*]Lässt sich kein Steigungsdreieck zeichnen, weil der Vektor senkrecht bzw. waagrecht ist, so ist die[br]x-Koordinate=0 bzw. die y-Koordinate=0.[/*][*]Verschiebe die Punkte A und B oder auch den Vektor v beliebig und beobachte, wie sich das Steigungsdreieck, die Seiten von diesem und der Vektor verändert. (Das Steigunungsdreieck kann über oder unter dem Vektor sein, das macht keinen Unterschied)[br][/*][/list]

Vektoren addieren

Erstelle die Vektoren v=(3,2) und w=(1,-3).[br][list][*]Addiere die Vektoren im Algebrafenster indem du einfach v+w eingibst.[/*][*]Versichere dich, dass der Endpunkt von v in GeoGebra als Punkt existiert.[/*][*]Verwnde nun das "Vektor von Punkt aus abtragen"-Werkzeug [img]data:image/png;base64,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[/img] mit dem Endpunkt von v (z.B. A) und dem Vektor w. Damit wird er w an das Ende von v gehängt.[/*][*]Falls die Verbindung noch nicht besteht: Zeichne den Vektor vom Anfangspunkt von v bis zum Endpunkt des abgetragenen Vektor ein. Vergleiche ihn mit v+w.[/*][*]Erstelle zwei unterschiedliche Vektor mithilfe des Vektor-Werkzeugs (sie sollen nicht in (0|0) beginnen)[/*][*]Verwende erneut beide Varianten um die so erstellten Vektoren zu addieren.[br][/*][/list]

Gegenvektor und Vektoren subtrahieren

[list][*]Erstelle den Gegenvektor von v, indem du v'=-v eingibst. (es reicht einfach -v, aber so bezeichnen wir den Gegenvektor gleich sinnvoll)[/*][*]Subtrahiere v von w indem du einmal w-v eingibst.[/*][*]Trage nun den Vektor v' vom Endpunkt von w ab und zeichne den Vektor vom Anfangspunkt von w C zum neuen Endpunkt D' ein.[br][/*][/list]

Vielfache von Vektoren

[list][*]Erstelle die Vektoren 2*v und 0.25*v.[/*][*]Miss die Länge des Vektors v mit dem Messwerkzeug [img]data:image/png;base64,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[/img] (bei den Winkeln) oder mithilfe des Befehls Länge([Objekt]) also Länge(v).[/*][*]Miss anschließend auch die Länge von den Vektoren 2*v und 0.25*v.[/*][*]Wie hängen die Längen zusammen?[br][/*][/list]

Skalarprodukt

[list][*]Bilde das Skalarprodukt der gegebenen Vektoren v und w indem du v*w eingibst oder den Befehl Skalarprodukt([Vektor],[Vektor]) verwendest.[/*][*]Verschiebe den Punkt C und beobachte wie sich Skalarprodukt und Winkel zwischen v und w verändern.[/*][*]Wie hängen Skalarprodukt und Winkel zusammen? Kreuze die richtige(n) Antworte(n) an.[br][/*][/list]

Ist [math]\alpha[/math]>270° so ist v*w positiv stehen v und w im rechten Winkel zueinander, so ist v*w=0. v*w ist genau dann positiv, wenn [math]cos\left(\alpha\right)[/math] positiv ist Ist [math]\alpha[/math]>90° so ist v*w negativ Wenn v*w=0, dann hat [math]\alpha[/math] 180°.

Vektoren am Einheitskreis

Beobachte wie sich Skalarprodukt, Winkel und Cosinus verhalten, wenn die Punkte B und C am Einheitskreis verschoben werden.[br]Überlege welche Länge die Vektoren u und v haben (oder bestimme sie mittel GeoGebra)