I har nok indset, at hvis man opløfter et tal, der i sig selv er en potens, i en (ny) potens, fx [math]8^2=\left(2^3\right)^2=\left(2\cdot2\cdot2\cdot2\right)\cdot\left(2\cdot2\cdot2\right)=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^{3\cdot2}=2^6[/math]. Den sidste potens, med eksponenten skrevet som et produkt af eksponenterne i den "inderste" og den "yderste" potens, udtrykker produktreglen,[br][quote][math]\left(a^b\right)^c=a^{b\cdot c}[/math][/quote]Hvis vi tillader os at omskrive kvadratrod til en [b]potens med ukendt eksponent[/b], så for eksempel kvadratroden af 16 skrives [math]\sqrt{16}=16^r[/math], kan vi finde denne ukendte størrelse [i]r[/i] ved eksponentproduktreglen.[br]Det ræsonnement vi bruger, bygger på det faktum, at enhver potens med eksponenten 1 giver grundtallet selv. Vi ved desuden, at når en kvadratrod opløftes i anden potens, får vi grundtallet under kvadratrodstegnet: [math]16=16^1=\left(\sqrt{16}\right)^2=\left(16^r\right)^2=16^{2\cdot r}[/math]. Lad os derfor fokusere alene på [b]eksponenterne i denne ligning[/b]. Her har vi: [math]1=2r[/math].[br][br]Løsning af denne simple ligning med en ubekendt giver, at [math]r=\frac{1}{2}[/math].[br][br]Jeg minder om, at rodeksponenten skrives for alle andre rødder, men netop udelades ved [b]kvadrat[/b]rod (hvor rodsksponenten er 2), at altså [math]\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}[/math]. Med dette og ud fra den indsigt, der ligger i, at [math]r=\frac{1}{2}[/math], kan vi opstille den følgende regel.

Det er noget i stil med potens over det at tage den [i]n[/i]'te rod af et tal, [math]\sqrt[n]{a}[/math], for eksempel [math]\sqrt[4]{81}=3[/math]. Du kan nok huske, at kvadratet af 3 er 9 og kvadratet af 9 er 81, så [math]9^2=\left(3^2\right)^2=3^{2\cdot2}=3^4=81[/math].[br][br]....[br][quote][math]\sqrt[r]{a}=a^{\frac{1}{r}}[/math][/quote]Man kan naturligvis kombinere reglerne. Sættes eksponentproduktreglen sammen med eksponentkvotientreglen, har vi udtryk af formen [math]\left(\sqrt[r]{a}\right)^q=\sqrt[r]{a^q}=a^{\left(\frac{q}{r}\right)}[/math].

Et rationelt tal [math]q\in\mathbb{Q}[/math] kan udtrykkes som en brøk af to heltal uden fælles faktorer, hvorfor rationelle tal kan skrives som uforkortelige brøker [math]q=\frac{t}{n},t\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}[/math]. Vi siger, at et tal [math]l\in\mathbb{Z}[/math] er [b]lige[/b], hvis 2 deler tallet, altså hvis [math]2\mid l\Longleftrightarrow\frac{l}{2}\in\mathbb{Z}[/math]. Ellers er (hel)tallet [math]u\in\mathbb{Z}[/math] ulige, dvs. [math]2\mid\left(u+1\right)\Longleftrightarrow\frac{u+1}{2}\in\mathbb{Z}[/math].[br]NB: Vi bruger operatoren "lodret streg", [math]\mid[/math], til at skrive "deler".[br]Vi skal betragte de fire situationer for potensfunktioner, der opstår af at både tæller og nævner kan være lige, henholdsvis ulige.[br][br][b]Eksempel[/b]: Tallet [math]q=\frac{8}{13}[/math] kan som ovenfor angivet skrives som en uforkortelig brøk. Den kan også udtrykkes som en uendelig, men periodisk decimalbrøk, [math]q=0,615384'615384'615384'...[/math]. Her er [b]tælleren lige[/b], medens [b]nævneren er ulige[/b].

I et Word-dokument indsætter du en 3x3 tabel. Overskrift til række 2 "Nævner lige", række 3: "Nævner ulige". kolonne 2 "Tæller lige", kolonne 3: "Tæller ulige".[br]I GeoGebra indretter du to skydere, begge som [b]heltal[/b].[br][list][*]Den ene, [b]t[/b], starter ved -5 og slutter ved 5.[/*][*]Den anden, [b]n[/b], starter ved 1 og går til 10.[/*][/list]Opret en potensfunktion [math]x^{\left(\frac{t}{n}\right)}[/math] og sørg for at farve, stregtykkelse osv. gør, at den kan ses også hvis den bliver skaleret lidt ned (fx som billedet herover). Jeg vil anbefale (har selv gjort det), at du vælger menupunktet [code]Indstillinger > Gem indstillinger[/code], når du har fundet nogle som er smarte at have næste gang du åbner GeoGebra![br][br]Vælg derefter fire sæt tal med tæller forskellig i hvert sæt, nævner også forskellig i hvert sæt. Kopier tegningen ind på det rigtige sted i tabellen i Word. Gerne med forskellige farver grafer i hver af tabellens celler! [br][list][*]Er der forskel mellem "grafens adfærd" når eksponenten er positiv, respektive negativ? (Skal tabellen udvides)?[/*][*]Er der celler, som ikke giver mening for en "uforkortelig brøk"?[br][/*][/list][br]Forklar under tabellen med ord og ved hjælp af regler for regning med rødder og potenser, hvorfor hver situation har grafer som de har (definitionsmængde og hvor grafens dele ligger).

Arbejdsarket bygger videre på dette [url=https://ggbm.at/rJETe7cj]ark om potensfunktioner med heltallig eksponent[/url].