[i]Necht' D, E, F jsou v uvedeném pořadí vnitřní body stran BC,CA a AB trojúhelníku ABC. Poměry jejich vzdáleností od krajních bodů příslušných stran nazvěme [math]\frac{\mid CD\mid}{\mid BD\mid}=x,\frac{\mid AE\mid}{\mid CE\mid}=y,\frac{\mid BF\mid}{\mid AF\mid}=z.[/math]Dále označíme P, Q, R průsečíky dvojic úseček AD, BE a CF (tzv. ceviány) takto: [math]P\in AD\cap CF,Q\in AD\cap BE,R\in BE\cap CF[/math] . Potom poměr obsahů trojúhelníků PQR a ABC je dán výrazem:[/i][center][i][br][/i][math]\frac{\left(xyz-1\right)^2}{\left(xy+y+1\right)\left(yz+z+1\right)\left(zx+x+1\right)}[/math][/center][center][/center]

Klasický důkaz a počítačový důkaz v programu CoCoa nalezneme v knize:[br]PECH, Pavel. [i]Klasické vs. počítačové metody při řešení úloh v geometrii[/i]. 1. vyd. V Českých Budějovicích: Jihočeská univerzita, 2005, 170 s. ISBN 80-704-0805-7.[br][br]Důkaz využívající barycentrické souřadnice nalezneme v knize:[br]COXETER, H. [i]Introduction to geometry[/i]. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, 1989, xvi, 469 s. Wiley classics library. ISBN 0471504580.[br][br]Důkaz využívající Menelaovu větu lze najít na stránce:[br][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Routh%27s_theorem]https://en.wikipedia.org/wiki/Routh%27s_theorem[br][br][/url]Důkaz v CAS prostředí v GeoGebře:

[b]Cevova věta[/b][br][br][i]V trojúhelníku ABC se přímky AX, BY a CZ, kde bodyX, Y, Z leží na stranách protilehlých odpovídajícím vrcholům, protínají v jednom[br]bodě právě tehdy, když platí:[br][center][/center][/i][center][i][/i][math]\frac{|AZ|}{|ZB|}\cdot\frac{|BX|}{|XC|}\cdot\frac{|CY|}{|YA|}=1[/math][/center][center][/center]Tento případ nastane právě tehdy, když v Routhově větě platí [i]xyz = 1, [/i]pak obsah trojúhelníku [i]PQR [/i]je roven nule.[br][br][b]Feynmanův trojúhelník[br][/b][br][i]Mějme libovolný trojúhelník v rovině. Jestliže každý jeho vrchol spojíme s bodem, který leží v jedné třetině protilehlé strany, pak trojúhelník tvořený těmito spojnicemi má obsah o velikosti jedné sedminy obsahu původního trojúhelníku.[br][br][/i]Jestliže body D, E, F dělí strany trojúhelníku ABC ve stejném poměru, pak [i]x = y = z = f [/i]a po úpravě vzorce z Routhovy věty má tvar [math]\frac{\mid PQR\mid}{\mid ABC\mid}=\frac{\left(f-1\right)^3}{f^3-1}[/math]. Rozdělíme-li strany trojúhelníka na tři stejné díly, pak [i][math]x=y=z=\frac{1}{2}[/math] [/i]a z uvedeného vzorce plyne , že obsah trojúhelníku PQR je roven [math]\frac{1}{7}[/math] obsahu trojúhelníku ABC.

Mějme libovolný trojúhelník v rovině. Jestliže každý jeho vrchol spojíme s bodem, který leží v jedné třetině protilehlé strany, pak trojúhelník tvořený těmito spojnicemi má obsah o velikosti jedné sedminy obsahu původního trojúhelníku.

Nechť trojúhelník ABC je rovnostranný a platí, že AB = BC = AC = 3. Pak C'B = 1. Dle kosinové věty platí CC'[sup]2[/sup]=3[sup]2[/sup]+1-6 cos 60°=7. Trojúhelníky CBC' a BUC' jsou podobné dle věty [i]uuu,[/i] protože mají jeden společný úhel (UC'B = BC'C) a zároveň úhly UBC' = BCC'. Pak tedy

[math]C'U=\frac{1}{\sqrt{7}},BU(=CV)=\frac{3}{\sqrt{7}}[/math]

[math]VU=\sqrt{7}-\frac{1}{\sqrt{7}}-\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}} [/math]

 Ze symetrie pak vyplývá, že UVW je také rovnostranný trojúhelník se stranami o délce  [math]\frac{1}{\sqrt{7}}[/math]délky stran trojúhelníku ABC. Proto S[sub]UVW=[math]\frac{1}{7}[/math][/sub]S[sub]ABC[/sub].