Геометрия на подвижных чертежах

Алексей Сгибнев, Apr 13, 2018

Альбом с живыми чертежами ко всем основным задачам книги А.И. Сгибнева "[b][url=http://biblio.mccme.ru/node/6426/shop]Геометрия на подвижных чертежах[/url][/b]" (М., МЦНМО, 2019). Книга посвящена решению геометрических задач с помощью программ динамической геометрии (Геогебра, Живая Математика, Математический Конструктор). [color=#b20ea8]8 готовых занятий кружка по геометрии на компьютере для 6-10 классов.[/color] "[i]Роль программ динамической геометрии при решении задач по геометрии можно сравнить с ролью экспериментальной установки в физической лаборатории: с их помощью школьник может взаимодействовать с предметом напрямую. Он легко может сам подмечать закономерности, ставить вопросы, выдвигать и проверять гипотезы. Благодаря программам динамической геометрии роль математического эксперимента при изучении геометрии может значительно возрасти. В России многие учителя и деятели олимпиадного движения уже активно пользуются такими программами, но они ещё недостаточно проникли в школьную среду. Цель этой книги — помочь учителям ввести экспериментальный подход в геометрии, дать им набор подходящих для этого задач и приёмов исследования.[/i]" Все [i]подвижные[/i] точки изображены "пустыми", [i]фиксированные[/i] – закрашенными, "[i]ведущая[/i]" точка – крупнее остальных. Этот альбом соответствует первому изданию книги, которое закончилось. Второму изданию соответствует [url=https://www.geogebra.org/m/qsqknnua]вот такой альбом[/url], а само издание [b]купить[/b] в [url=https://www.ozon.ru/product/geometriya-na-podvizhnyh-chertezhah-1200042722]Озоне[/url] и [url=https://biblio.mccme.ru/node/210710]в издательстве[/url]. [b]Группа [url=https://t.me/joinchat/Eg7psxQ1MLIrk1bKwOjS8A]"Динамическая геометрия"[/url] в телеграме[/b]. [b][url=https://www.youtube.com/watch?v=bXObB8ZJPmM]Мастер-класс[/url][/b] по первой главе книги (урок с 6-классниками школы 239 Санкт-Петербурга + обсуждение с учителями в перерыве). [url=https://youtu.be/z6odxedOwas]Видеоурок по Геогебре, 19 минут.[/url] [url=https://drive.google.com/file/d/14MiHHTBCEKau0HT9xVvPbLKhhROKqdKV/view?usp=sharing][color=#b20ea8]Руководство по Геогебре, 6 страниц[/color][/url] Другие мои проекты: [url=https://www.geogebra.org/m/edfut8r2][color=#0a971e]Коллекция живых чертежей к учебнику М.А. Волчкевича "Геометрия 9 класс"[/color][/url] [url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLnnFSS9Rswo3a2TPHcf2jMP2EsV1g7asA]Видеокурс "ГеоГебра для учителей"[/url] (совместно с А.О. Сысоевым и Н.М. Нетрусовой) [url=https://www.geogebra.org/m/kyudvqfx][color=#198f88]альбом подвижных чертежей к задачнику М.А. Волчкевича "Геометрия в задачах 7-8 класс"[/color][/url], [color=#c51414][url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLnnFSS9Rswo27FPmawSghhRaxuV2qu091]видеокурс "Алгебра на компьютере".[/url][/color]

Table of Contents

  1. Строим подвижные чертежи
    1. 1.1. Две окружности
    2. 1.2. Вписанный угол
    3. 1.3. Квадрат внутри угла
    4. 1.4. Квадрат не внутри угла
    5. 1.5. Параллелограмм в ∆
    6. 1.6. Перпендикулярные хорды
    7. 1.7. Прямоугольник в ∆
    8. 1.8. Квадрат по центру
    9. 1.9*. Правильный ∆ по центру
  2. Строим траектории точек и линий
    1. 2.1а. Середины хорд
    2. 2.1б. Множество хорд
    3. 2.2. Вершина прямоугольника
    4. 2.3. Середины чевиан
    5. 2.4. Середины хорд с общим концом
    6. 2.5а. Основания перпендикуляров
    7. 2.5б. Симметричные точки
    8. 2.6. Траектория ортоцентра
    9. 2.7. Центр прямоугольника
  3. Метод освобождения точки
    1. 3.1. Отрезок в угле
    2. 3.2. Квадрат в треугольнике
    3. 3.3. Хорда в окружности
    4. 3.4. Отрезок в угле (2:1)
    5. 3.5. Отрезок и прямые
    6. 3.6. Треугольник в треугольнике
    7. 3.7. Треугольник и две окружности
    8. 3.8. Квадрат и две окружности
  4. Измерения на чертеже. Задачи на минимум и максимум-1.
    1. 4.1. Хорда в окружности
    2. 4.2. Прямая через вершину
    3. 4.3а. Минимум в четырёхугольнике
    4. 4.3б*. Минимум в четырёхугольнике
    5. 4.4. Основания высот
    6. 4.5. Шесть отрезков
    7. 4.6. Сумма высот
    8. 4.7. Сумма расстояний в ∆
    9. 4.8. Сумма расстояний в окружности
  5. Оживляем следы
    1. 5.1а. Задача о котёнке
    2. 5.1б. Огибающая отрезков
    3. 5.2. Множество середин – отрезки
    4. 5.3. Точка на диаметре
    5. 5.4а. Множество середин в ∆
    6. 5.4б*. Огибающая отрезков в ∆
    7. 5.5*. Множество середин – окружности
    8. 5.6. Жёсткий треугольник
    9. 5.7. Задача о кладе
  6. Ищем взаимосвязи и инварианты
    1. 6.1. Равные окружности
    2. 6.2. Три перпендикуляра
    3. 6.3. Две симметрии
    4. 6.4. Угол в 60˚
    5. 6.5. Ортоцентр
    6. 6.6. Прямая в параллелограмме
    7. 6.7. Пять квадратов
    8. 6.8. Середины в пятиугольнике
  7. Минимумы и максимумы-2
    1. 7.1а. Кратчайший путь с заходом
    2. 7.1б. Кратчайший путь с проходом
    3. 7.2. Основания перпендикуляров
    4. 7.3. Наименьший радиус
    5. 7.3. Наименьшая сумма радиусов
    6. 7.4. Мост
    7. 7.5. Наибольший угол
    8. 7.6. Равные отрезки
    9. 7.7. Наименьший периметр
    10. 7.8*. Квадрат и прямая
  8. Открытые задачи
    1. 8.1. Три прямые
    2. 8.2. Четыре точки
    3. 8.3. След середины
    4. 8.4. Равные отрезки
    5. 8.5. Ещё след середины
    6. 8.6. Наибольший отрезок

1.

Строим подвижные чертежи

Учимся строить подвижные чертежи. Для 6-7 классов. Внизу каждого чертежа есть проигрыватель, позволяющий воспроизводить построения по шагам.

  • 1. 1.1. Две окружности
  • 2. 1.2. Вписанный угол
  • 3. 1.3. Квадрат внутри угла
  • 4. 1.4. Квадрат не внутри угла
  • 5. 1.5. Параллелограмм в ∆
  • 6. 1.6. Перпендикулярные хорды
  • 7. 1.7. Прямоугольник в ∆
  • 8. 1.8. Квадрат по центру
  • 9. 1.9*. Правильный ∆ по центру

1.1.

1.1. Две окружности

а) Постройте треугольник, вершины которого лежат на данной окружности. б) Проведите окружность через три вершины данного треугольника.
– Алексей Сгибнев

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

2.

Строим траектории точек и линий

С помощью следа строим траектории точек и линий подвижных чертежей и угадываем их форму. В левом нижнем углу есть кнопка, позволяющая включать/выключать анимацию.

  • 1. 2.1а. Середины хорд
  • 2. 2.1б. Множество хорд
  • 3. 2.2. Вершина прямоугольника
  • 4. 2.3. Середины чевиан
  • 5. 2.4. Середины хорд с общим концом
  • 6. 2.5а. Основания перпендикуляров
  • 7. 2.5б. Симметричные точки
  • 8. 2.6. Траектория ортоцентра
  • 9. 2.7. Центр прямоугольника

2.1.

2.1а. Середины хорд

Найдите в данной окружности множество середин хорд данной длины.
– Алексей Сгибнев

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

3.

Метод освобождения точки

Учимся решать задачи на построение с помощью метода освобождения точки.

  • 1. 3.1. Отрезок в угле
  • 2. 3.2. Квадрат в треугольнике
  • 3. 3.3. Хорда в окружности
  • 4. 3.4. Отрезок в угле (2:1)
  • 5. 3.5. Отрезок и прямые
  • 6. 3.6. Треугольник в треугольнике
  • 7. 3.7. Треугольник и две окружности
  • 8. 3.8. Квадрат и две окружности

3.1.

3.1. Отрезок в угле

Дан угол и точка A внутри него. Проведите отрезок, концы которого лежат на сторонах угла, а середина совпадает с точкой A.
– Алексей Сгибнев

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

4.

Измерения на чертеже. Задачи на минимум и максимум-1.

Учимся проводить измерения на чертеже и угадывать экстремальные положения точек и прямых.

  • 1. 4.1. Хорда в окружности
  • 2. 4.2. Прямая через вершину
  • 3. 4.3а. Минимум в четырёхугольнике
  • 4. 4.3б*. Минимум в четырёхугольнике
  • 5. 4.4. Основания высот
  • 6. 4.5. Шесть отрезков
  • 7. 4.6. Сумма высот
  • 8. 4.7. Сумма расстояний в ∆
  • 9. 4.8. Сумма расстояний в окружности

4.1.

4.1. Хорда в окружности

Дана окружность и точка А внутри нее. Проведите через точку A хорду а) наибольшей длины, б) наименьшей длины.
– Алексей Сгибнев

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

5.

Оживляем следы

Учимся оживляем следы точек, строить двумерные области и изучать форму траектории в зависимости от параметров.

  • 1. 5.1а. Задача о котёнке
  • 2. 5.1б. Огибающая отрезков
  • 3. 5.2. Множество середин – отрезки
  • 4. 5.3. Точка на диаметре
  • 5. 5.4а. Множество середин в ∆
  • 6. 5.4б*. Огибающая отрезков в ∆
  • 7. 5.5*. Множество середин – окружности
  • 8. 5.6. Жёсткий треугольник
  • 9. 5.7. Задача о кладе

5.1.

5.1а. Задача о котёнке

По взаимно перпендикулярным прямым ОА и ОВ скользят концы отрезка CD фиксированной длины. На отрезке CD отмечена точка E. Изучите траекторию точки E в зависимости от ее положения на отрезке.
– Алексей Сгибнев

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

6.

Ищем взаимосвязи и инварианты

Учимся искать на подвижных чертежах геометрические инварианты (величины, которые не меняются при движении фигур) и взаимосвязи (величины, которые остаются равными при движении фигур).

  • 1. 6.1. Равные окружности
  • 2. 6.2. Три перпендикуляра
  • 3. 6.3. Две симметрии
  • 4. 6.4. Угол в 60˚
  • 5. 6.5. Ортоцентр
  • 6. 6.6. Прямая в параллелограмме
  • 7. 6.7. Пять квадратов
  • 8. 6.8. Середины в пятиугольнике

6.1.

6.1. Равные окружности

Две окружности равного радиуса касаются друг друга в точке K. Стороны прямого угла с вершиной K пересекают одну окружность в точке A, а другую – в точке B. Что в этой конструкции сохраняется при движении точки А по окружности?
– Алексей Сгибнев

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

6.8.

–

7.

Минимумы и максимумы-2

Решаем сложные задачи на экстремумы, в которых искомая точка или прямая получается путём дополнительных построений.

  • 1. 7.1а. Кратчайший путь с заходом
  • 2. 7.1б. Кратчайший путь с проходом
  • 3. 7.2. Основания перпендикуляров
  • 4. 7.3. Наименьший радиус
  • 5. 7.3. Наименьшая сумма радиусов
  • 6. 7.4. Мост
  • 7. 7.5. Наибольший угол
  • 8. 7.6. Равные отрезки
  • 9. 7.7. Наименьший периметр
  • 10. 7.8*. Квадрат и прямая

7.1.

7.1а. Кратчайший путь с заходом

Даны прямая m и две точки A и B по одну сторону от неё. Постройте на прямой m такую точку M, чтобы сумма AM + MB была наименьшей.
– Алексей Сгибнев

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

7.9.

–

7.10.

–

8.

Открытые задачи

Итоговое занятие – на двух конструкциях вспоминаем все типы заданий (следы, экстремумы, инварианты, освобождение точки).

  • 1. 8.1. Три прямые
  • 2. 8.2. Четыре точки
  • 3. 8.3. След середины
  • 4. 8.4. Равные отрезки
  • 5. 8.5. Ещё след середины
  • 6. 8.6. Наибольший отрезок

8.1.

8.1. Три прямые

На сторонах треугольника ABC наружу построены квадраты ABKP и BCGF. Изучите взаимосвязь отрезков AF и KC, а также взаимное расположение прямых AF, KC и PG.
– Алексей Сгибнев

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

8.6.

–

Information