Cálculo Diferencial e Integral III - EAD UniCesumar 2017
[color=#444]Este material on-line se destina à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral III do curso de Licenciatura em Matemática EAD da UniCesumar. Criado pelo Prof. Me. Azuaite Schneider com o objetivo de facilitar o aprendizado dos conceitos da disciplina supracitada. Maringá, Julho de 2017.[/color]
Table of Contents
- Sequências e séries numéricas
- Sequências (Ilustrador dinâmico)
- Definição formal de convergência de Sequências Numéricas
- Convergência de séries numéricas
- A série geométrica
- Critérios e testes de convergência para séries numéricas
- Teorema do confronto
- Material de apoio ao Quiz da Aula ao Vivo I (26 Julho 2017)
- Sequências e séries de funções
- Convergência simples (ou pontual)
- Convergência uniforme
- Séries de Potências
- Material de apoio ao Quiz da Aula ao Vivo II (02 Agosto 2017)
- Equações Diferenciais
- Modelando um problema (Questão ENADE - 2014)
- Brincando com a EDO de coeficientes constantes 2a ordem
- EDOs Lineares homogêneas de coeficientes constantes
Sequências (Ilustrador dinâmico)
Uma sequência numérica é uma coleção infinita e enumerável de números reais. Em[br]outras palavras é um conjunto no qual podemos obter uma correspondência com o conjunto dos números naturais ([math]\mathbb{N}[/math]).[br][br]Correspondência aqui é entendida como função:[br][math]f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}[/math][br][math]\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math], onde [math]x_n=f\left(n\right)[/math].[br][br][math]x_n[/math] é chamado de termo geral da sequência e determina todos os seus termos.[br][br]O seguinte applet ilustra dinamicamente e graficamente o significado de uma sequência.[br][br]Não hesite em reautorizar a fórmula explícita para esta sequência no canto superior esquerdo.
[b]Observação:[/b] Note que aqui temos um ilustrador dinâmico em que a sequência está sendo exposta num plano cartesiano (de forma a comparar a sequência com a função), mas poderíamos pensar a sequência apenas sobre uma reta, assim como o professor mostra na primeira aula conceitual!
Convergência simples (ou pontual)
[br][br]Uma sequência de funções [br][br][math]f_n:X\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},n\in\mathbb{N}[/math][br][br]converge simplesmente ou pontualmente para uma função [math]f:X\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math] se para cada [math]x\in X[/math],[br]a sequência numérica [br][br][math]\left\{x_n\right\}=\left\{f_n\left(x\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math],[br][br]converge para [math]f\left(x\right)[/math].[br][br]Notação:[br][br][math]f_n\rightarrow f[/math] ,quando [math]n\rightarrow\infty[/math].[br][br]Como exemplo, observe a convergência pontual da sequência de funções[br][br][math]\left\{f_n\left(x\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}=\left\{x^n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math], no intervalo [math]\left[0,1\right]\subset\mathbb{R}[/math].
Questão 01
Para [math]a=0.5[/math], a sequência de numérica [math]\left\{f_n\left(a\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math] converge para:[br][br][size=85]Dica: Escolha o valor de [math]a[/math] e faça o valor de [math]n[/math] crescer, observe o que acontece com o ponto [math]P[/math].[/size]
Para [math]a=1[/math], a sequência numérica [math]\left\{f_n\left(a\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math] converge para qual valor e por quê?
Observando a convergência para todos os pontos do intervalo [math]\left[0,1\right][/math], é possível inferir que a sequência de funções [math]\left\{f_n\left(x\right)\right\}_{n\in}[/math]converge, neste intervalo, para a função qual função? Essa função é contínua?
Modelando um problema (Questão ENADE - 2014)
Questão (ENADE - 2014)
Uma função diferenciável, 𝑓, crescente a partir da origem e situada no primeiro quadrante é tal que a área sob seu gráfico e acima do eixo das abscissas, de 0 até 𝑥, vale um quinto da área do triângulo com vértices nos pontos (0,0), (𝑥,0) e (𝑥,𝑦), em que 𝑦=𝑓(𝑥).[br][br]A equação diferencial que descreve essa situação é
Para responder esta pergunta é preciso saber modelar o problema através de uma equação.[br][br]Primeiramente, lembre que a área sob uma curva, nas condições dadas no enunciado (no primeiro quadrante e crescente) pode ser calculada pela integral da função, ou seja, a área é dada por[br][br][math]\int_0^xf\left(x\right)dx[/math].[br][br]Já a área do triângulo é dado pela metade da base vezes altura, que (como você pode ver pela representação no applet abaixo) é dada por[br][br][math]\frac{1}{2}xf\left(x\right)[/math][br][br]Destas duas informações e do enunciado do problema, tiramos que[br][br][math]\int_0^xf\left(x\right)dx=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}xf\left(x\right)\right)\quad\Rightarrow\quad\int_0^xf\left(x\right)dx=\frac{1}{10}xf\left(x\right)[/math][br][br]Para tirar a integral precisamos derivar ambos os lados da equação acima em relação a [math]x[/math], então[br][br][math]\frac{d\left(\int f\left(x\right)dx\right)}{dx}=\frac{1}{10}\cdot\frac{d\left(xf\left(x\right)\right)}{dx}\quad\Rightarrow\quad f\left(x\right)=\frac{1}{10}\cdot\left(f\left(x\right)+x\frac{df}{dx}\right).[/math][br][br]Daí, basta substituir [math]f\left(x\right)=y[/math],[br][br][math]y=\frac{1}{10}\left(y+xy'\right)\quad\Rightarrow\quad10y=y+xy'\quad\Rightarrow\quad xy'-9y=0.[/math][br][br]Essa equação diferencial tem como solução [math]y=x^9[/math], que você pode ver abaixo, satisfaz a condição de que a área abaixo da sua curva é exatamente um quinto da área do triângulo.