Im reellen Vektorraum [math]\mathbf{V_4}[/math] ist eine quadratische Form [math]\left\langle\,,\right\rangle[/math] der Signatur (+,+,+,-) gegeben. Im projektiven Raum [math]\mathbb{P}_3[/math] sind die Punkte [b]p[/b] = [[math]x[/math]] mit [math]x\in \mathbf{V_4}[/math] und [math]\left\langle x,x\right\rangle=0[/math] die Möbiuspunkte auf der Möbiusquadrik [b]Q[/b]. Punkte außerhalb der Quadrik [b]k[/b] = [[math]k[/math]] mit [math]\left\langle k,k\right\rangle>0[/math] repräsentieren reelle Kreise, Punkte innerhalb imaginäre Kreise. Ein Punkt [b]p[/b] = [[math]x[/math]] liegt auf einem Kreis [b]k[/b] = [[math]k[/math]], wenn [math]\left\langle x,k\right\rangle=0[/math] gilt. [br]In [math]\mathbf{V_4}[/math] ist eine Orientierung durch eine Determinantenform [math]\det[/math] festgelegt.[br]Einem von zwei Vektoren [math]a,b\in \mathbf{V_4}[/math] aufgespannten 2-dimensionalen Unterraum von [math]\mathbf{V_4}[/math], also projektiv betrachtet einer Geraden, werde die alternierende Bilinearform [math]a\wedge b\left(x,y\right):=\det\left(a,b,x,y\right)[/math] für [math]x,y\in \mathbf{V_4}[/math] zugeordnet.[br]Im reell 6-dimensionalen Vektorraum [math]\mathbf\mathcal{ G}=\bigwedge_2\mathbf{V_4}[/math] aller alternierenden Formen auf [math]\mathbf{V_4}[/math] repräsentieren die [i][b]zerlegbaren[/b][/i] [math]a\wedge b[/math] Vektoren die zweidimensionalen Unterräume des [math]\mathbf{V_4}[/math]: ein Vektor [math]x\in \mathbf{V_4}[/math] liegt auf [math]a\wedge b[/math], falls [math]a\wedge b\left(x,y\right)=0 \mbox{ für alle }y\in \mathbf{V_4}[/math] gilt. Jede alternierende Form läßt sich als Linearkombination zerlegbarer Formen darstellen.[br]In [math]\large{\mathbf\mathcal{ G}}[/math] ist eine symmetrische Bilinearform ausgezeichnet, die [i][b]Plückerform[/b][/i] [math]\mathcal{P}[/math] als bilineare Fortsetzung der Vorschrift [math]\mathcal{P\left(a\wedge b,c\wedge d\right):=det\left(a,b,c,d\right)[/math].[br]Ein Vektor [math]\mathbf\vec{g}\in \large\mathbf\mathcal{ G}[/math] ist zerlegbar, d.h. [math]\mathbf\vec{g}=a\wedge b[/math] für geeignete [math]a,b\in \mathbf{V_4}[/math] stellt eine Gerade dar, genau dann, wenn [math]\mathcal{P\left(\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}\right)=0[/math] gilt. [br]In dem zu [math]\large\mathbf\mathcal{ G}[/math] gehörenden projektiven Raum, dem Geradenraum [math]\mathbb{P}_5[/math] ist durch die Plückerform eine Quadrik gegeben; die "Punkte" auf dieser Quadrik sind die Geraden des [math]\mathbb{P}_3[/math].[br]Zwei Geraden [math]\mathbf\vec{g}_1=a\wedge b,\, \mathbf\vec{g}_2=c\wedge d[/math] schneiden sich im [math]\mathbb{P}_3[/math], falls [math]\mathcal{P\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)=\det\left(a,b,c,d\right)=0[/math] gilt.[br]Man vergleiche zur Geometrie der Geraden [[b]BOL[/b]] oder [[b]HOSCH[/b]].[br][br]Geraden im Quadrikmodell der Möbiusebene repräsentieren lineare Kreisbüschel. Zu welchem Typ ein Kreisbüschel gehört, läßt sich entscheiden mit Hilfe einer zweiten symmetrischen Bilinearform auf [math]\large{\mathbf\mathcal{ G}}[/math]:[br]Die Möbiusform [math]\left\langle,\right\rangle[/math] auf [math]\mathbf{V_4}[/math] induziert auf [math]\large{\mathbf\mathcal{ G}}[/math] die quadratische Form [math]\left\langle,\right\rangle_2[/math] als bilineare Fortsetzung der Gramschen Determinante [math]\left\langle a\wedge b,c\wedge d\right\rangle_2=\left|\begin{matrix}\left\langle a,c\right\rangle\left\langle a,d\right\rangle\\\\\left\langle b,c\right\rangle\left\langle b,d\right\rangle\end{matrix}\right|[/math].[br]Für Geradenvektoren [math]\mathbf\vec{g}=a\wedge b[/math] ist [math]\left\langle \mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}\right\rangle_2=\left\langle a,a\right\rangle\cdot\left\langle b,b\right\rangle-\left\langle a,b\right\rangle^2[/math] die [i]Diskriminante[/i].[br]Daher repräsentiert ein Geradenvektor [math]\mathbf\vec{g}[/math] ein [math]\left\{\begin{matrix}elliptisches\\parabolisches\\elliptisches\end{matrix}\right\}[/math] Kreisbüschel[sup]*[/sup]), falls [math]\left\{\begin{matrix}\left\langle \mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}\right\rangle_2<0\\\left\langle \mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}\right\rangle_2=0\\\left\langle \mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}\right\rangle_2>0\end{matrix}\right\}[/math] gilt.[br]Denn die von [math]a[/math] und [math]b[/math] aufgespannte Gerade [math]\mathbf\vec{g}[/math] [math]\left\{\begin{matrix}schneidet\; \mathbf{Q}\\berührt\; \mathbf{Q}\\schneidet\; \mathbf{Q}\; nicht\end{matrix}\right\}[/math], falls [math]\left\{\begin{matrix}\left\langle \mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}\right\rangle_2<0\\\left\langle \mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}\right\rangle_2=0\\\left\langle \mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}\right\rangle_2>0\end{matrix}\right\}[/math] gilt.[br]Wir denken uns die Kreise des Büschels als die Schnitte der Möbiusquadrik mit den Ebenen, welche durch die Gerade gehen.[br][br][sup]*[/sup]): [size=50]Man vergleiche zu den Bezeichnungen für Kreisbüschel [math]\hookrightarrow[/math] die [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/m47QvzyP]Bemerkung in der Einführung[/url].[/size]

Die Punkte A, B lassen sich auf der Kugel bewegen. Wenn sie [i]fast[/i] zusammenfallen, entsteht [i]fast[/i] ein [b][i]parabolisches[/i][/b] Kreisbüschel.[br][size=50][right]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/right][/size]