Dynamische Mathematik mit GeoGebra 3D
[b]Vortrag am Lehrer/innen/fortbildungstag der ÖMG 11. April 2015 Universität Wien [/b]
Sommario
- Einleitung
- GeoGebra 3D und GeoGebraBooks
- Raumgeometrie
- Dodekaeder
- Abwicklung eines Kegels
- Funktionen
- Graph einer Funktion in zwei Variablen
- Analytische Geometrie
- Kreuzende Geraden (3D)
- Volumen eines Parallelepipeds
- Schnitt von 3 Ebenen
- Schnitt von drei Kugeln
- Differentialrechnung
- Saftbox
- Kegel mit eingeschriebenem Zylinder
- Tangentialebene an eine Fläche (Animation)
- Integralrechnung
- Cavalieri-Prinzip
- Volumen einer Pyramide
- Staumauer
- Cavalieri-Prinzip
- Dom zu Speyer
- Rotationskörper
- Berechnung des Rotationsvolumens
- Darstellende Geometrie
- Schnitt von zwei Zylindern
- Rohrschraubfläche
- Parallelprojektion eine Würfels
- Der Schatten einer Kugel - Parallelprojektion
- Der Schatten einer Kugel - Zentralprojektion
- Zentralprojektion eines Würfels - Perspektive 1
- Ebener Schnitt eines Zylinders
- Dandelin'sche Kugeln
- Kürzeste Flugroute
- Physik
- Überlagerung von Kreiswellen
- Vektorfeld im R³
- Zirkular polarisierte Wellen
- Schwingendes Pendel und Lissajous-Figuren
- Addition von Geschwindigkeiten
- GeoGebra-Konferenz
- GeoGebra Konferenz
GeoGebra 3D und GeoGebraBooks
Gestaltung von GeoGebraBooks
Die folgenden Beispiele zu GeoGebra 3D sind in einem [size=100][b]GeoGebraBook [/b][/size]zusammengefasst. Diese "Bücher" sind eine Möglichkeit, Materialien zu einem bestimmten Thema zu sammeln. Dabei muss es sich nicht notwendigerweise um mathematische Inhalte handeln.[br][br]In GeoGebraBooks können [b]Texte, Formeln, Grafiken, Applets[/b] und [b]Videos [/b]integriert werden.[br][br][br][b]Ein Beispiel für Fomeln:[/b] Beschreibung des schiefen Wurfes[br][math]x(t)=v_o\cdot\cos(\alpha)\cdot t[/math][br][math]y(t)=v_o\cdot\sin(\alpha)\cdot t-\frac{g}{2}\cdot t^2 +H[/math]
Der schiefe Wurf - eine Parabel als Bahnkurve
Ein schiefer Wurf kann aber auch dreidimensional in einem dynamischen Applet dargestellt werden.
Ein kurzer Einblick in GeoGebra 3D
[code][/code]Das folgende [b]Video [/b]soll einen kurzen Einblick in GeoGebra 3D geben. Es ist ein Beispiel eines Videos aus dem [url=https://www.youtube.com/channel/UC5hJLoPg27unBIMhs5cCgsg]GeoGebraChannel auf Youtube[/url].
Dodekaeder
Dodekaeder (Zwölfflächner)
Andreas Lindner
Graph einer Funktion in zwei Variablen
Das Applet zeigt den [b]Graph [/b]einer[b] Funktion f in zwei Variablen[/b]:[br][math]f:D\left(\subset\mathbb{R}^2\right)\longrightarrow\mathbb{R}; (x,y) \mapsto f\left(x,y\right)[/math][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verschiebe den [b][color=#0000ff]Punkt A'[/color][/b] und lies seine Koordinaten in der Tabelle ab.[br]Gib eine andere Funktion f ein und untersuche ihren Graphen.[br][br][i]Hinweis:[/i] Mögliche andere Funktionen sind [br]f(x,y) = sin(x+y)[br]f(x,y) = e^-(x^2 + y^2)[br]f(x,y) = x y
Kreuzende Geraden (3D)
Das Applet zeigt der Normalabstand zweier sich kreuzender Geraden.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Position der Punkte A, B und C, D.[br]Versuche, eine der beiden Geraden projizierend zu machen. Was siehst du in diesem Fall?
Andreas Lindner
Saftbox
Eine Saftbox mit 1 Liter (1000 ml) Inhalt soll eine quadratische Grundfläche haben. [br]Wie hoch ist die Saftbox, wenn der Materialverbrauch für die Verpackung möglichst gering sein soll?[br][br][b]Aufgabe[/b][br]a) Verändere die Lage des [color=#c51414]Punktes B[/color] und versuche durch Probieren, das Minimum zu bestimmen.[br]b) Löse die Aufgabe mit dem CAS.
Cavalieri-Prinzip
Im Applet siehst du eine gerade und eine schiefe Pyramide.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][br][*]Bewege die Spitze [math]S_1[/math] vertikal und die Spitze [math]S_2[/math] horizontal.[br][*]Drehe die Konstruktion in den Grundriss und vergleiche die Größen der beiden Schnittfiguren mit der blauen Ebene ε.[br][*]Verändere mit dem Schieberegler die Höhe h und vergleiche wieder die Größen der beiden Schnittfiguren.[br] [/list]
Andreas Lindner
Schnitt von zwei Zylindern
[b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Radien der beiden Zylinder.
[b]Zur Herleitung der Gleichung der Schnittkurve[/b][br][br]Für den [b][color=#888]grauen Zylinder[/color][/b] mit dem Radius [math]r_1[/math] ist die y-Achse die Rotationsachse.[br]Er kann durch die Gleichung [math]x^2 + z^2 = r_1^2[/math] oder in Parameterform als [math]z_{1} = \left( \begin{array} \, r_{1} \cdot \cos(u) \\w \\r_{1} \cdot sin(u) \end{array} \right)[/math] beschrieben werden. [br]Der Befehl zur Darstellung als Fläche lautet in GeoGebra: [math]z_1 = Oberfläche[r_{1} \cdot cos(u), w, r_{1} \cdot sin(u), u, 0, 6.28319, w, -4, 4][/math][br][br][br]Für den [b][color=#0a971e]grünen Zylinder[/color][/b] mit dem Radius [math]r_2[/math] ist die z-Achse die Rotationsachse.[br]Er kann durch die Gleichung [math]x^2 + y^2 = r_2^2[/math] oder in Parameterform als [math]z_{2} = \left( \begin{array} \, r_{2} \cdot \cos(u) \\r_{2} \cdot sin(u) \\w \end{array}\right)[/math] beschrieben werden. [br]Der Befehl zur Darstellung als Fläche lautet in GeoGebra: [math]z_2 = Oberfläche[r_{2} \cdot cos(u), r_{2} \cdot sin(u), w, u, 0, 6.28319, w, -4, 4][/math][br][br]Wenn man die einzelnen Komponenten der Parameterdarstellung von [math]z_2[/math] in die Gleichung für [math]z_1[/math] einsetzt, ergibt sich:[br][math](r_2 \cdot cos(u))^2 + w^2 = r_1^2[/math][br]und daraus[br][math]w = \pm \sqrt{r_1^2 - r_2^2 \cdot cos(u)^2}[/math][br][br]Die Gleichung der Schnittkurve lautet deshalb in Parameterform: [math]k = \left( \begin{array} \, r_{2} \cdot \cos(u) \\r_{2} \cdot sin(u) \\\pm \sqrt{r_{1}^2 - r_{2}^2 \cdot cos(u)^2} \end{array} \right)[/math][br]Der entsprechende Befehl (für den oberen Teil der Kurve) lautet in GeoGebra: [math]Kurve[r_{2} \cdot cos(u), r_{2} \cdot sin(u), sqrt(r_{1}² - r_{2}² \cdot cos(u)²), u, 0, 6.28319][/math][br][br][i]Literatur[br]Georg Glaeser: Der mathematische Werkzeugkasten. Anwendungen in Natur und Technik. München 2006[/i]
Überlagerung von Kreiswellen
Spiele die Animation ab.
GeoGebra Konferenz
GeoGebra Global Gathering
[url=http://gathering.geogebra.org/]GEOGEBRA[br]Global Gathering[br]15. - 17.7.2015[/url]