Das quadratische Vektorfeld besitze 2 einfache und eine doppelte Nullstelle.[br]Wir wählen das euklidische KOS so, dass [math]\pm1[/math] die einfachen Brennpunkte und [math]\infty[/math] der doppelte Brennpunkt ist.[br]Projiziert man im Quadrik-Modell vom Pol der [math]x[/math]-Achse auf die [math]x[/math]-Achsen-Ebene, so wird die [math]x[/math]-Achse zum ([color=#ff0000]roten[/color]) Kreis, auf dem die Brennpunkte [math]\mathbf{f}_1=+1\;,\mathbf{f}_2=-1[/math], sowie [math]0[/math] und der doppelte Brennpunkt [math]\infty[/math] liegen. [br]Die [math]y[/math]-Achse ist Symmetrieachse.[br]Die Schar der Quadriken mit den angegebenen Brennpunkten sind in diesem Falle die Kegel, welche den Pol der [math]x[/math]-Achse als Kegelspitze besitzen. In der [b]3D[/b]-Darstellung liegt der Pol der [math]x[/math]-Achse in der Fernebene, die Kegel erscheinen als Zylinder.[br]Diese Zylinder berühren in der [math]x[/math]-Ebene die Tangenten an die Brennpunkte [math]\mathbf{f}_1\,,\mathbf{f}_2[/math]. Die Berührpunkte seien [math]\mathbf{f}_1\,^{ * }\mbox{ und }\mathbf{f}_2\,^{ * }[/math]. Außerdem berühren sie die Möbiusquadrik in [math]\infty[/math] doppelt.[br][br]In der [b]2D[/b]-Darstellung ist also ein Kegelschnitt zu konstruieren, von dem 3 Punkte und (mindestens) 2 Tangenten gegeben sind. Das ist prinzipiell lösbar.[br]Im obigen Applet läßt sich der Berührpunkt [math]\mathbf{f}_1\,^{ * }[/math] auf der Tangente von [math]\mathbf{f}_1[/math] bewegen. Hiermit läßt sich die Schar der Berührkegelschnitte und in der 3D-Darstellung die Schar der Quadriken verfolgen. Reelle Schnittkurven mit der Möbiusquadrik, also sichtbare bizirkulare Quartiken gibt es nur, wenn der Berührpunkt [math]\mathbf{f}_1\,^{ * }[/math] zwischen den Schnittpunkten [math] \left[\mathbf{f}_1\;,\;\mathbf{f}_2\right][/math] und [math] \left[\mathbf{f}_1\;,\;\infty\right][/math] der Tangenten von [math]\mathbf{f}_1\,,\mathbf{f}_2[/math] bzw. der Tangenten von [math]\mathbf{f}_1\,,\infty[/math] liegt.[br]Die Zylinder schneiden die Möbiusquadrik entweder isoliert in [math]\infty[/math] und einer geschlossenen Kurve mit den Brennpunkten [math]\pm1[/math], das sind [i]Ellipsen[/i], oder mit einem Doppelpunkt in [math]\infty[/math], das sind [i]Hyperbeln[/i].[br]Kurz: die Schnittkurven sind [i][b]konfokale Kegelschnitte[/b][/i]. [br][br]Die einzelnen [i][b]Schnittkurven[/b][/i] entstehen als Schnitt der Möbiusquadrik mit einen zweiten Quadrik. Das Quadrikbüschel [math]\mathbf{Kugel} + \lambda\;\cdot\;\mathbf{Zylinder} [/math]enthält neben dem Kegel durch den Pol der [math]x[/math]-Achse auch den Kegel durch den Pol der [math]y[/math]-Achse und den Kegel durch [math]\infty[/math]. Aber auch die anderen Quadriken des Quadrikbüschels sind durch die [b]3D[/b]-Möglichkeiten von Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]Gebra erfreulich schön anzuschauen: ein kontinuierliches Bild von [i]Ellipsoiden[/i], einschaligen und zweischaligen [i]Hyperboloiden[/i], unterbrochen von [i]Kegeln[/i] und [i]Zylindern[/i].[br][br][size=85][u][i]Zur Konstruktion der Berührkegelschnitte in der 2D-Darstellung[/i][/u]: der Berührkegelschnitt entsteht aus dem Kreis, der die [math]x[/math]-Achse dargestellt, durch die projektive Abbildung, welche den Schnittpunkt [math] \left[\mathbf{f}_1\;,\;\mathbf{f}_2\right][/math] und die Tangente an [math]\infty[/math] punkteweise fix läßt. Die Verbindungsgerade von [math]0[/math] mit [math]\mathbf{f}_1[/math] geht dabei über in die Verbindungsgerade von [math]\mathbf{S}[/math] und [math]\mathbf{f}_1\,^{ * }[/math]: hiermit ist der 2.te Schnittpunkt [math]\mathbf{S}[/math] des gesuchten Kegelschnitts mit der [math]y[/math]-Achse konstruiert. Die Mittelsenkrechte zur Strecke [math]\overline{\mathbf{S}\,\infty[/math] ist Symmetrieachse, damit kann man den 5.ten Punkt [math]\mathbf{f}_1\,^{ * '}[/math] des gesuchten Kegelschnitts und damit diesen selber konstruieren: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]. [br][i][u]Bemerkung:[/u][/i] Man kann auch den Brennpunkt [math]\mathbf{f}_1[/math] auf der x-Achse bewegen. Dies ändert nichts an der eigentlichen Konstruktion: möbiusgeometrisch ist auf der [math]x[/math]-Achse zunächst keine Skala festgelegt! [br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][br][br][/size]