[justify]Az eddig tanult függvények ([math]f[/math]) legtöbbjére igaz, hogy minél jobban megközelítjük a függvény értelmezési tartományának egy adott  pontját, a függvényértékek annál inkább megközelítik az adott pontbeli függvényértéket. [br]Ezt a tulajdonságot a függvény folytonosságának nevezzük, melyet a következő[br]definícióval írunk le pontosan:[/justify][br][b]Cauchy-féle definíció[/b][br][justify]Az [i][math]f[/math][/i] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_0[/math] pontjában, ha tetszőleges [math]\varepsilon>0[/math]-hoz létezik olyan [math]\delta>0[/math] melyre, ha [math]\mid x-x_0\mid<\delta[/math], akkor [math]\mid f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\mid<\varepsilon[/math] .[/justify][justify][/justify][justify][/justify]Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. [br]Adott az [math]f\left(x\right)=x^2,[/math] [math]x\in R[/math] függvény. [br]Vizsgáljuk ennek folytonosságát különböző pontokban az interaktív alkalmazás segítségével!

Figyeld meg a kiindulási állapotot! [br]Az [math]x_0[/math] pont környezetében az [math]f[/math] függvény mely pontjaira teljesül, hogy a függvényértékek [math]f(x_0)[/math]-tól való eltérése legfeljebb 0,05, vagyis [math]|f(x)-f(x_0)|<[/math]0,05 ?

Közelítsünk jobban![br]Változtasd [math]ε[/math] értékét a panelen található csúszkán![br]Állítsd be az értékét 0,03; 0,01; 0,005-re![br]Olvasd le a hozzájuk tartozó [math]δ[/math] értékeket![br][br]

Igaz-e, hogy tetszőlegesen kicsi [math]ε>0[/math]-hoz találunk az olyan [math]δ>0[/math] számot, melyre ha [math]x[/math] az [math]x_0[/math]-nak [math]δ[/math] sugarú környezetében van, akkor [math]f(x)[/math] az [math]f(x_0)[/math]-nak [math]ε[/math] sugarú környezetébe esik?[br]Kísérletezz! A képet a görgő segítségével nagyíthatod, [math]ε[/math]-t pedig tovább csökkentheted a csúszkán.

Szemléletünk az mutatja, hogy az adott függvény esetében tetszőleges [math]ε[/math]-hoz találunk megfelelő [math]δ[/math]-t.[br]Hogyan bizonyíthatnánk az állítást?[br]

Mozdítsd el a [math]x_0[/math] pontot az [math]x[/math]-tengelyen![br]Vizsgáld a fenti tulajdonságot más pontokban is![br]Folytonosnak mondhatjuk-e az [math]f(x)=x^2[/math] hozzárendelési szabállyal megadott, valós számok halmazán értelmezett függvényt?

A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.[br]Heine-féle definíció:[br]Az [math]f[/math] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_0[/math] pontjában, ha bármely [math]\lim_{n\to\infty}x_n=x_0[/math] esetén [math]\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)[/math]