[size=150][color=#ff0000]Nel piano cartesiano sono assegnate due rette:[br][br]r: ax + by + c = 0                e           s: a'x + b'y + c' = 0.[br][br]Vogliamo sapere se esse sono incidenti e, in caso affermativo, determinare le coordinate del punto P di intersezione.[/color][br][br][br]Poiché il punto P deve appartenere ad entrambe le retta, le sue coordinate devono soddisfare entrambe le equazioni, cioè devono essere soluzione del sistema:[br][center][math]\begin{cases}ax+by+c=0\\ \\a'x+b'y+c'=0\end{cases}[/math][/center][/size][size=150]Risolviamo il sistema con il metodo di Cramer, dopo averlo scritto in forma normale:[br][center][math]\begin{cases}ax+by=-c\\ \\a'x+b'y=-c'\end{cases}[/math][/center][/size][size=150]osserviamo che esso è determinato, e quindi ammette una sola soluzione, se e solo se il determinante dei coefficienti delle incognite:[br][center][math]\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}=ab'-a'b\ne0[/math][/center]oppure:[br][center][math]\frac{a}{a'}\ne\frac{b}{b'}[/math][/center][/size]In questo caso le rette sono incidenti e il punto P, intersezione tra r ed s, avrà per coordinate le soluzioni del sistema:[br][center][math]x=\frac{\begin{vmatrix} -c & b \\ -c' & b' \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}}=\frac{bc'-b'c}{ab'-a'b}[/math][/center][center][math]y=\frac{\begin{vmatrix} a & -c \\ a' & -c' \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}}=\frac{a'c-ac'}{ab'-a'b}[/math][/center]Se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo, il sistema può essere [b]impossibile [/b](in tal caso le rette non hanno alcun punto in comune) o [b]indeterminato[/b] (in tal caso il sistema ha infinite soluzioni cioè le due rette hanno tutti i punti in comune).[br][br]Il sistema è[color=#ff0000] impossibile[/color] se:[br][center][math]\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}\ne\frac{c}{c'}[/math][/center][color=#ff0000]indeterminato[/color] se:[br][center][math]\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}[/math][/center]In questo caso infatti le due equazioni sono equivalenti e quindi rappresentano la stessa retta.[br][b]Concludendo:[/b]