[justify]Observamos que é importante ter presente e sabida a matéria relacionada com segmentos orientados e vetores anteriormente estudada (nomeadamente, no 10.º ano do ensino secundário).[br]Aproveitamos para relembrar que, quaisquer dois vetores admitem (sempre) dois representantes (isto é, dois segmentos orientados) complanares. Para vermos isso temos de considerar dois casos:[br]1) o caso em que um dos vetores é nulo e[br]2) o caso em que ambos os vetores são não nulos.[br]O caso 1) é trivial e por isso apenas nos debruçamos sobre o caso 2). Sejam [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] dois vetores não nulos. Basta considerarmos um ponto arbitrário, [math]O[/math], e dois pontos [math]P[/math] e [math]Q[/math] tais que [math]\vec{OP}=\vec{u}[/math] e [math]\vec{OQ}=\vec{v}[/math], para termos o pretendido. Mais, as relações atrás podem ainda ser expressas da seguinte maneira: [math]P=O+\vec{u}[/math] e [math]Q=O+\vec{v}[/math].[br]Relembramos também que [b]projeção ortogonal de um ponto [/b][math]P[/math][b] sobre uma reta [/b][math]r[/math]é o ponto de interseção de [math]r[/math] com a reta que passa em [math]P[/math] e é perpendicular a [math]r[/math] (isto é, é o [b]pé da perpendicular do ponto [/b][math]P[/math][b] sobre a reta [/b][math]r[/math]).[br][br]Vamos então abordar o que nos propusemos fazer neste capítulo.[br]Suponhamos fixada uma unidade de medida de comprimento e sejam [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] dois vetores não nulos.[br]Consideremos um ponto arbitrário, [math]O[/math], dois pontos [math]P[/math] e [math]Q[/math] tais que [math]\vec{OP}=\vec{u}[/math] e [math]\vec{OQ}=\vec{v}[/math], e o ponto [math]Q'[/math], a projeção ortogonal de [math]Q[/math] na reta [math]OP[/math].[br]O [b]produto escalar[/b] (ou [b]interno[/b])[b] dos vetores [/b][math]\vec{u}[/math][b] e [/b][math]\vec{v}[/math], que vamos representar por [math]\vec{u}\cdot\vec{v}[/math], é o número [math]\overline{OP}[/math][math]\times[/math][math]\overline{OQ'}[/math] ou o número [math]-[/math][math]\overline{OP}[/math][math]\times[/math][math]\overline{OQ'}[/math] (respetivamente), consoante os vetores [math]\vec{OP}[/math] e [math]\vec{OQ'}[/math] tenham o mesmo sentido ou sentidos contrários (respetivamente).[br]No caso de algum dos vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] ser o vetor nulo, o produto escalar é zero.[br]Notamos que, no caso do vetor [math]\vec{OQ'}[/math] ser o vetor nulo, tem-se que [math]\overline{OQ'}=0[/math] e, portanto [math]\vec{u}\cdot\vec{v}=0[/math]. Observamos também que, neste caso, uma vez que o vetor [math]\vec{OQ}[/math] é não nulo isso significa que os vetores [math]\vec{OP}[/math] e [math]\vec{OQ}[/math] são perpendiculares (por definição de projeção ortogonal do ponto [math]Q[/math] sobre a reta [math]OP[/math]).[br][br]Observamos que o termo "escalar" indica que o resultado desta operação (produto) entre vetores não é um vetor mas sim um número (escalar).[br][br][br]Na apliqueta abaixo temos uma representação geométrica onde podemos observar diferentes casos do que falámos atrás.[br]Arrastando os pontos O, P e Q podemos observar geometricamente diferentes vetores e (seus representantes) segmentos orientados que podemos obter. Podemos também observar a projeção ortogonal e, geometricamente, comparar os comprimentos dos segmentos de reta cujos extremos estão relacionados com as construções mencionadas no texto anterior.[/justify]