[size=150][justify][/justify][/size][size=150][justify][size=200]Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es una curva, pero esta idea puede no coincidir con lo que entendemos por curva en matemáticas. Una recta, una circunferencia, una elipse o una catenaria son curvas según la definición matemática de curva. Veamos que tienen en común estas curvas o como las podemos definir. Una recta está formada por todos los puntos que siguen una misma dirección, también podemos pensar en la recta como el recorrido que sigue un motorista que sigue siempre la misma dirección sin desviarse. Una circunferencia está formada por todos los puntos que están a la misma distancia de un punto que denominamos centro, también podemos interpretar una circunferencia como el recorrido que realiza un motorista al dar una vuelta completa alrededor de un punto manteniéndose a la misma distancia del centro. [/size][br][br][size=200]Como vemos, estas curvas están formadas por conjuntos de puntos del plano, y como ya sabemos los puntos del plano se especifican mediante sus coordenadas [math]x[/math][code] [/code]e [math]y[/math]; es decir, los pares ordenados [math]\left(x,y\right)[/math]. El conjunto de puntos que forman una curva satisface una condición y esa condición en matemáticas la expresamos mediante una ecuación de dos variables, las coordenas [math]x[/math] e [math]y[/math] de estos puntos. Esta ecuación se denomina ecuación implícita de la curva. La condición que cumplen los puntos de cada curva es distinta y por tanto, cada curva vendrá representada por una ecuación distinta. Si ecuaciones distintas representan la misma curva, siempre será posible obtener una ecuación a partir de la otra.[/size][br][br][/justify][/size][size=150][justify][size=200][/size][size=200][/size][size=200][/size][size=200][/size][size=200]A continuación definimos lo que es una curva en el plano.[/size][size=200][/size][br][size=200][/size][size=200]Sea [math]U[/math] un subconjunto abierto de [math]\mathbb{R}^2[/math] y [math]f:U\longrightarrow\mathbb{R}[/math] una función de clase infinito. Si [math]c[/math] es un número real tal que el conjunto [math]C=\left\{\left(x,y\right)\in U\slash f\left(x,y\right)=c\right\}[/math] es infinito se dice que [math]C[/math] es una curva.[/size][size=200][/size][size=200][/size][size=200][/size][br][br][size=200][/size][size=200]Veamos algunos ejemplos. La representación gráfica de una curva, dibuja todos los puntos de coordenadas [math]\left(x,y\right)[/math] que satisfacen la ecuación de la curva.[/size][size=200][/size][size=200][/size][/justify][/size]

[size=150][justify][size=200]La ecuación implícita de una recta del plano es de la forma a x + b y = c, donde a, b y c son números reales. Por ejemplo, - 3 x + 2 y = 4.[/size][/justify][/size]

[size=150][justify][size=200]La ecuación implícita de una circunferencia centrada en el punto [math]\left(a,b\right)[/math] y de radio [math]r[/math] es [math]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2[/math]. Por ejemplo, [math]\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=4[/math].[/size][/justify][/size]

[size=150][justify][size=200]La ecuación implícita de una elipse centrada en el punto [math]\left(m,n\right)[/math] y de semiejes mayor y menor, [math]a[/math] y [math]b[/math] es [math]\frac{\left(x-m\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-n\right)^2}{b^2}=1[/math]. Por ejemplo, [math]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1[/math].[/size][/justify][/size]

[size=150][justify][size=200]La ecuación implícita de la catenaria es [math]y=acosh\left(\frac{x}{a}\right)[/math] donde el punto más bajo se encuentra en el punto de coordenadas [math]\left(0,a\right)[/math]. Por ejemplo, [math]y=cosh\left(\frac{x}{1}\right)[/math].[/size][/justify][/size]

[size=150][justify][size=200]Para representar una curva mediante sus ecuaciones implícitas en GeoGebra, escribimos la ecuación en la barra de entrada. Puedes utilizar la siguiente ventana de Geogebra para representar curvas mediante sus ecuaciones implícitas.[/size][/justify][/size]