En cualquier cuadrilátero, la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Bimedianas_Baricentro_CuadrilateroTetraedro.html]bimedianas[/url], segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos, más cuatro veces el cuadrado de la bimediana de las diagonales (segmento que une sus puntos medios).[br][br]Para demostrarlo, se aplica la [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/LeyParalelogramo_TeorApolonio.html]ley del paralelogramo[/url] a los tres [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teorema_Varignon.html]paralelogramos de Varignon[/url] de los tres cuadriláteros convexos o cruzados que determinan los cuatro lados y las dos diagonales.

Nota: [b]#1[/b] nos dice que la suma de los cuadrados de las diagonales iguala al doble de la suma de los cuadrados de las bimedianas.[br][br]En cualquier cuadrilátero se tiene entonces que:[br][br][b][color=#0000ff]a[/color]²+[color=#0000ff]b[/color]²+[color=#0000ff]c[/color]²+[color=#0000ff]d[/color]² ≥ [color=#ff0000]p[/color]²+[color=#ff0000]q[/color]²[/b][br][br]dándose la igualdad solo en los paralelogramos.[br][br]A partir de [b]#1[/b], [b]#2[/b] y [b]#3[/b] también pueden obtenerse formulas para las longitudes de las bimedianas y del segmento que une los puntos medios de las diagonales:[br][br][b][color=#38761d]m[/color]=½√([color=#0000ff]b[/color]²+[color=#0000ff]d[/color]²-[color=#0000ff]a[/color]²-[color=#0000ff]c[/color]²+[color=#ff0000]p[/color]²+[color=#ff0000]q[/color]²)[br][color=#38761d]n[/color]=½√([color=#0000ff]a[/color]²+[color=#0000ff]c[/color]²-[color=#0000ff]b[/color]²-[color=#0000ff]d[/color]²+[color=#ff0000]p[/color]²+[color=#ff0000]q[/color]²)[br][color=#ff00ff]s[/color]=½√([color=#0000ff]a[/color]²+[color=#0000ff]b[/color]²+[color=#0000ff]c[/color]²+[color=#0000ff]d[/color]²-[color=#ff0000]p[/color]²-[color=#ff0000]q[/color]²)[/b][br][br]([i]A Cornucopia of Quadrilaterals, Claudi Alsina & Roger B. Nelsen[/i])