La [i]Figura 1[/i] mostra la condizione 1 per avere triangoli omologici, la [i]Figura 2[/i] mostra la condizione 2
Il Teorema di Desargues
[size=150]Questa sezione è tratta e fa riferimento al paragrafo 14 del libro di Castelnuovo, quello in cui si dimostra il Teorema di Desargues sui triangoli omologici.[br][br]Il T[i]eorema di Desargues[/i], conosciuto anche come [i]teorema dei triangoli omologici[/i], è un teorema che permette di definire quando due triangoli sono omologici, attraverso le [i]condizioni necessarie e sufficienti[/i] qui sotto riportate.[br][br]Si considerino due triangoli di vertici [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] e [math]A'[/math], [math]B'[/math], [math]C'[/math] e lati [math]a[/math], [math]b[/math] ,[math]c[/math] e [math]a'[/math], [math]b'[/math], [math]c'[/math].[br]Perché siano due [b][i]triangoli omologici[/i][/b] devono verificarsi le seguenti condizioni:[br][list=1][*]le rette [math]AA'[/math], [math]BB'[/math], [math]CC'[/math], congiungenti i vertici corrispondenti, devono passare per un punto [math]P[/math] detto [i][b]centro di omologia[/b][/i];[/*][*]i punti [math]aa'[/math], [math]bb'[/math], [math]cc'[/math], intersezioni di lati corrispondenti, devono appartenere ad una stessa retta [math]p[/math] detta [i][b]asse di omologia[/b][/i].[/*][/list][/size]
[size=150]Il teorema di Desargues afferma che queste condizioni sono l'una la conseguenza dell'altra.[br][br]Per semplicità spezzeremo il teorema in due parti, che verranno trattate come due teoremi separati.[/size]
Teorema di Desargues partendo dalla condizione 1
[color=#0000ff][size=150]Siano due triangoli[/size] [/color][math]ABC[/math][color=#0000ff] e [/color][math]A'B'C'[/math][color=#0000ff], [size=150]non aventi alcun elemento comune.[/size][br][size=150]Se le [i]rette congiungenti i vertici [/i]dell'uno con i vertici corrispondenti dell'altro[/size] [/color][math]AA'[/math][color=#0000ff], [/color][math]BB'[/math][color=#0000ff], [/color][math]CC'[/math][color=#0000ff] [size=150]passano per uno [i]stesso punto[/i][/size] [/color][math]P[/math][color=#0000ff].[br][size=150]Allora le [i]intersezioni dei lati [/i]dell'uno con i lati corrispondenti dell'altro[/size] [/color][math]aa'[/math][color=#0000ff], [/color][math]bb'[/math][color=#0000ff], [/color][math]cc'[/math][size=150][color=#0000ff]appartengono ad una [/color][i][color=#0000ff]medesima retta [/color][/i][/size][i][math]p[/math][/i][color=#0000ff].[/color]
[size=150]È opportuno sottolineare l'enunciato vale sia per i triangoli omologici che stanno su uno [i]stesso piano[/i] e che su [i]piani differenti[/i]; pertanto verrà dimostrato in entrambi i casi.[/size]
Dimostrazione da condizione 1 e con triangoli su piani differenti
[size=150]1) Per ipotesi valgono le seguenti affermazioni:[list][*][size=150]l'intersezione [math]\pi\pi'[/math][/size][size=150] non è né il primo né il secondo triangolo (e quindi i due piani non sono coincidenti);[br][/size][/*][*][size=150]le rette [math]AA'[/math], [math]BB'[/math], [math]CC'[/math] congiungenti i vertici corrispondenti, passano per il punto [math]P[/math] che non appartiene né a [math]\pi[/math], né a [math]\pi'[/math] per ipotesi.[/size][/*][/list][br]2) Si proietti il triangolo [math]ABC[/math] rispetto al punto [math]P[/math] sul piano [math]\pi'[/math].[br][br]3) Si ottiene che il triangolo proiettato coincide con il triangolo [math]A'B'C'[/math]. Cioè uno dei triangoli è la proiezione dell'altro da un centro conveniente (e viceversa).[br][br]4) L'applicazione del [i]Lemma [/i]e la [i]definizione di omologia [/i]del paragrafo "[url=https://www.geogebra.org/m/puxakstf ][i]Altre osservazioni sulle proiezioni di una figura sopra un piano[/i][/url]" restituiscono la tesi, dove [math]p\equiv\pi\pi'[/math] è l'[i]asse di omologia[/i].[/size]
Dimostrazione da condizione 1 e con triangoli su stesso piano
[size=150]1) Per ipotesi che le rette [math]AA'[/math], [math]BB'[/math], [math]CC'[/math] congiungenti i vertici corrispondenti, passano per il punto [math]P[/math] di [math]\pi[/math].[br][br]2) Per costruire il triangolo ausiliare si fissino due punti [math]S[/math] e [math]S'[/math] allineati con [math]P[/math] e non appartenenti a [math]\pi[/math].[br][br]3) Conducendo le rette proiettanti [math]SA[/math] e [math]S'A'[/math] appartenenti al piano [math]PSA[/math], si ottiene la loro intersezione [math]A_0[/math]. Facendo lo stesso con le altre coppie di punti, si ottengono anche i punti [math]B_0[/math] e [math]C_0[/math]. Si definisca [math]\pi_0[/math] il piano condotto per i punti [math]A_{0_{ }}[/math], [math]B_{0_{ }}[/math] e [math]C_{0_{ }}[/math].[br][br]4) Si osserva che i triangoli [math]ABC[/math] e [math]A'B'C'[/math] sono le proiezioni di [math]A_{0_{ }}B_0C_0[/math] su [math]\pi[/math], rispetto ai centri [math]S[/math] e [math]S'[/math].[br][br]5) L'applicazione del [i]Lemma [/i]e la [i]definizione di omologia [/i]del paragrafo "[url=https://www.geogebra.org/m/puxakstf ][i]Altre osservazioni sulle proiezioni di una figura sopra un piano[/i][/url]" restituiscono la tesi, dove [math]p\equiv\pi\pi_0[/math] è l'[i]asse di omologia[/i].[/size]
[color=#ff0000][size=150][b]Per una dimostrazione dinamica più comprensibile, si suggerisce di togliere le spunte ai piani dopo essere passati al passaggio successivo.[/b][/size][/color]
Teorema di Desargues partendo dalla condizione 2
[size=150][color=#0000ff]Siano due triangoli [/color][math]ABC[/math][color=#0000ff] e [/color][math]A'B'C'[/math][color=#0000ff], non aventi alcun elemento comune.[br][/color][/size][size=150][color=#0000ff]Se le [i]intersezioni dei lati[/i] dell'uno coi corrispondenti lati dell'altro [/color][math]aa'[/math][/size][color=#0000ff], [/color][math]bb'[/math][color=#0000ff], [/color][math]cc'[/math][color=#0000ff][size=150] appartengono ad una [i]medesima retta[/i][/size] [/color][math]p[/math][color=#0000ff].[br][/color][size=150][color=#0000ff]Allora le [i]rette congiungenti i vertici[/i] dell'uno coi vertici corrispondenti dell'altro [/color][math]AA'[/math][/size][color=#0000ff], [/color][math]BB'[/math][color=#0000ff], [/color][math]CC'[/math][size=150][color=#0000ff][i] passano per uno stesso punto[/i] [/color][math]P[/math][/size][size=150][color=#0000ff].[/color][/size]
[size=150]È opportuno sottolineare l'enunciato vale sia per i triangoli omologici che stanno su uno [i]stesso piano[/i] e che su [i]piani differenti[/i]; pertanto verrà dimostrato in entrambi i casi.[/size]
Dimostrazione da condizione 2 e con triangoli su piani differenti
[size=150]1) Per ipotesi valgono le seguenti affermazioni:[list][*]l'intersezione [math]\pi\pi'[/math] non è né il primo, né il secondo triangolo (e quindi i due piani non sono coincidenti);[/*][*]i punti [math]aa'[/math], [math]bb'[/math], [math]cc'[/math], intersezioni delle corrispettive rette, stanno sulla stessa retta [math]p\equiv\pi\pi'[/math].[/*][/list][br]2) I 3 piani passanti per [math]P[/math] e ciascuno contenente una delle coppie di rette corrispondenti saranno da ora chiamati [math]aa'P[/math], [math]bb'P[/math], [math]cc'P[/math]. Essi non coincidono né con [math]\pi[/math] né con [math]\pi'[/math] e avranno in comune il punto [math]P[/math].[br][br]3) Si proiettino i lati del triangolo [math]ABC[/math] rispetto al punto [math]P[/math] sul piano [math]\pi'[/math].[br][br]4) Si ottengono i lati del secondo triangolo [math]A'B'C'[/math]. Cioè uno dei triangoli è la proiezione dell'altro da un centro conveniente (e viceversa).[br][br]5) L'applicazione del L[i]emma [/i]e la [i]definizione di omologia [/i]del paragrafo "[url=https://www.geogebra.org/m/puxakstf][i]Altre osservazioni sulle proiezioni di una figura sopra un piano[/i][/url]" restituiscono la tesi, dove [math]P[/math] è il [i]centro di omologia[/i].[/size]
[color=#ff0000][size=150][b]Per una dimostrazione dinamica più comprensibile, si suggerisce di togliere le spunte ai piani dopo essere passati al passaggio successivo.[/b][/size][/color]
Dimostrazione da condizione 2 e con triangoli su stesso piano
[size=150]1) Per ipotesi i punti [math]aa'[/math], [math]bb'[/math], [math]cc'[/math], intersezioni delle corrispettive rette, stanno sulla stessa retta [math]p[/math].[br][br]2) Si costruisca il piano [math]\pi_{0_{ }}[/math] passante per la retta [math]p[/math] e si tracci su di esso il triangolo [math]A_{0_{ }}B_0C_{0_{ }}[/math], tale per cui [math]aa'\in a_{0_{ }}\equiv A_{0_{ }}B_0[/math], [math]bb'\in b_{0_{ }}\equiv B_{0_{ }}C_{0_{ }}[/math], [math]cc'\in c_{0_{ }}\equiv A_0C_{0_{ }}[/math].[br][br]3) Si costruiscano le rette proiettanti [math]SA_{0_{ }}\equiv A_0A[/math], [math]SB_0\equiv B_0B[/math], [math]SC_{0_{ }}\equiv C_{0_{ }}C[/math] utilizzando le rette passanti per i punti corrispondenti. La loro intersezione sarà il centro di proiezione [math]S[/math] che proietta il triangolo [math]A_{0_{ }}B_{0_{ }}C_{0_{ }}[/math] in [math]ABC[/math].[br][br]4) Analogamente trovo il centro di proiezione [math]S'[/math] che proietta il triangolo [math]A_{0_{ }}B_{0_{ }}C_{0_{ }}[/math] in [math]A'B'C'[/math].[br][br]5) Costruendo la retta [math]SS'[/math] che congiunge i due centri di proiezione, è possibile trovare il punto [math]P[/math] come traccia della retta sul piano [math]\pi[/math]. Per definizione [math]S[/math], [math]S'[/math] e [math]P[/math] sono allineati.[br][br]6) L'applicazione del [i]Lemma [/i]e la [i]definizione di omologia [/i]del paragrafo "[url=https://www.geogebra.org/m/puxakstf][i]Altre osservazioni sulle proiezioni di una figura sopra un piano[/i][/url]" restituiscono la tesi, dove [math]P[/math] è il [i]centro di omologia[/i].[/size]