Extremwertprobleme
Extremwertprobleme
Table of Contents
- Wiederholung
- Wiederholung von Extremwertproblemen
- Verständnis
- Beispiel
- Interaktive Übung
- Übungen
- Übung 1
- Übung 2
- Übung 3
Wiederholung von Extremwertproblemen
Lösungsschritte mit Beispiel
Beim Lösen von Extremwertproblemen kommt man mithilfe von vier Schritten auf das Ergebnis:[br][br]Als Beispiel dient uns eine Hauswand wie im Bild oben zu sehen.[br]Die Aufgabe ist es, den [b]größt [/b]möglichen Flächeninhalt zu zu errechnen, den man mit 15 m Zaun erreichen kann.[br][br][br]Schritt 1 : [br]Aufstellen eines Funktionsterms für die gesuchte Größe. ( in diesem Fall A ) [br][br]A = x * y[br][br][br]Schritt 2 : [br]Aufstellen einer Gleichung, die die Nebenbedingung beschreibt und diese umstellen.[br][br]2x + y = 15 (Nebenbedingung Zaunlänge) ---> y = 15 - 2x[br][br][br]Schritt 3 :[br]Einsetzen der umgeformten Funktion in y und ausmultiplizieren.[br][br]A (x) = x * ( 15 - 2x ) ----> A (x) = 2x² + 15x[br][br][br]Schritt 4 : [br]Ermittlung des Scheitelpunkts und Angabe des Extremwerts[br][br]Nullstellen : x * (15 - 2x ) = 0[br][br] x ₁ = 0 x₂ = 7,5[br][br]Scheitelpunkt : ( x₁ + x₂ ) / 2 [br] ( 0 + 7,5 ) / 2 = 3,75[br][br]Extremwert : 15 - 2 * 3,75 = 7,5[br][br]x = 3,75 y = 7,5[br][br]A = 3,75 * 7,5 = 28,125 [m²][br]
Beispiel
Gehegefläche 1
Übung 1
Optimierung einer Getränkedose
Du bist auf der Suche nach der optimalen Form für ihre Getränkedosen, um Materialkosten zu minimieren. Deine Aufgabe ist es, die Abmessungen für eine Dose zu finden, die genau einen Liter (1000 cm³) Flüssigkeit aufnehmen kann, aber gleichzeitig die Oberfläche möglichst klein hält. Die Dose soll die Form eines Zylinders haben.[br]1.Formuliere eine Gleichung für die Oberfläche A der Dose in Abhängigkeit von r ( Durchmesser ) und h ( Höhe).[br]2.Formuliere eine Gleichung für das Volumen ( 1 Liter ) und löse diese nach h auf.[br]3.Setzte nun die Gleichung für h in die Gleichung für die Oberfläche ein. [br]4.Setzte die ganze Formel in den Grafikrechner ein [br]Wenn du nun auf die 3 Punkte an der Funktion gehst, und dann auf spezielle Punkte, kannst du bei B den Punkt ablesen
Wie groß muss r sein, damit damit die Oberfläche kleinstmöglich ist ?