[b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/vffm84sw]探求　数学[/url]Ⅰ」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][/size][/size][/b][br]＜頂点が原点（0,0）のグラフの特徴＞[/size][/size][/b][br][size=100]ｙ＝ｘ[sup]2[/sup][/size]の対応表を作ると、ｘ＝1,2,3のとき、[size=100]ｘ[/size][sup]2[/sup]＝1,4,9となり、[br]ｘの増加にともない急激に大きくなる。[br][size=100]ｘ＝2は1と3の平均だが、ｙ＝4は1と9の平均の5より少ない。[br]だから、グラフは下がふくらむ[[color=#0000ff][b]下に凸][/b][/color]の曲線になる。[br]ｘ＝+sのときと、x=-sのときでは、yは同じs[sup]2[/sup]の値になるから、[br][[color=#0000ff][b]左右対称（ｙ軸で対称）][/b][/color]になる。[br]ｙ軸（ｙ軸の方程式はｘ＝０）が[[color=#0000ff][b]対称軸][/b][/color]になっている。[br][br][/size][color=#0000ff]（例）[/color][math]x=5,6,7,y=f\left(x\right)=x^2=25,36,49[/math]で、[br]36<(25+49)÷2=37よりf(x)は線分(5,25)(7,49)より下を通る。[br][math]f\left(-5\right)=f\left(5\right)=5^2=25[/math][br][size=150][b]＜2次の係数の大小とグラフ＞[br][/b][/size]yはxの関数なので、ｙ＝[i]f[/i](x)とか、y=[i]g[/i](x)などのようにかくことがある。[br][i]f,g[/i]が関数の名前のように使える。[i]f[/i](x)=[i]a[/i]x[sup]2[/sup]と[i]g[/i](x)=[i]b[/i]x[sup]2[/sup]のグラフで、[color=#0000ff]0<[i]a[/i]<[i]b[/i]とする[/color]。[br]0<[i]f[/i](x)<[i]g[/i](x)（xが非ゼロ）。[br][color=#0000ff]ｙ座標ffグラフの上にグラフgにある[/color]。[br][color=#0000ff]（例）[math]f\left(x\right)=5x^2,g\left(x\right)=2x^2[/math]なら、原点でくっつき、それ以外はｆはｇより上にある。[/color][br][size=150][b]＜2次の係数の正負とグラフ＞[br][/b][/size]y＝[i]f[/i](x)=ax[sup]2[/sup]とy＝[i]g[/i](x)=-ax[sup]2[/sup]のグラフで、f(1)=a,[i]g[/i](1)=-aとなる。[br]だから、-[i]f[/i](1)=[i]g[/i](1)となる。[br]ｘが０以外ならいつでも-[i]f[/i](x)=[i]g[/i](x)だから、[br][i]ｆ[/i]と[i]g[/i]は上下逆（ｙ軸方向）にある。[color=#0000ff]ｘ軸について対称[/color]とも言える。[br][color=#0000ff]（例）[math]f\left(x\right)=2x^2,g\left(x\right)=-2x^2[/math][br][/color] [math]-f\left(1\right)=g\left(1\right)=-2,-f\left(x\right)=g\left(x\right)=-2x^2[/math][math]-f\left(1\right)=g\left(1\right)=-2,-f\left(x\right)=g\left(x\right)=-2x^2[/math][math]-f\left(1\right)=g\left(1\right)=-2,-f\left(x\right)=g\left(x\right)=-2x^2[/math][br][br][br][b][size=100][size=150][color=#999999][br][/color][/size][/size][/b]

[size=150][b]＜標準形の頂点は（p,q）＞[br][/b][size=100]頂点が原点０（0,0）からP(p,q)に平行移動したグラフを考える。[br][color=#0000ff][b]y=f(x)上にある任意の点Q[/b][/color](x,y)が、R(L,M)に平行移動すれば、[br][b][i][color=#0000ff]L[/color][/i][/b][i][color=#0000ff][b]=ｘ+p,M=y+q[/b][/color][/i]となる。[br]逆算して[i][color=#0000ff][b]x=L-p,y=M-q[/b][/color][/i]。これをy=f(x)に代入すると、[br]L、Mの間に[i][b][color=#0000ff]M[/color][/b][color=#0000ff][b]-q=f(L-p)[/b][/color][/i]という関係ができる。[br][/size][size=100]だから、y=f(x)=x[sup]2[/sup]を（1,2)に平行移動したグラフはM−2＝f(L-1)=(L-1)[sup]2[/sup]となる。[br]（L,M)のLはｘ座標、Mはｙ座標という意味がわかるように書き直すと、y-2＝(x−1)[sup]2[/sup][br][/size][b][br]一般に、[color=#0000ff]グラフy=ax2の頂点[/color]を原点から[color=#0000ff]点(p,q)に平行移動[/color]したグラフは[br][color=#0000ff]y-q=a(x-p)[sup]2[/sup]、[b][color=#0000ff]y=a(x-p)[sup]2[/sup]+q[/color][/b][/color]となる。これを標準形という。[br][/b][/size][b][br][size=150]＜標準形の軸はｘ＝p＞[/size][br][/b]頂点が原点０（0,0)のグラフは原点を通るｙ軸(x=0)で左右対称だった。[br]頂点が点P(p,q)のグラフは点Pを通りy軸に平行な直線（x=p)で左右対称になる。[br]だから、対称軸という意味から、簡単にｘ＝ｐをグラフの[[b][color=#0000ff]軸][/color][/b]という。[br][b][size=150]＜一般形と対称移動＞[/size][/b][br][color=#0000ff]y-q=a(x-p)[/color][sup]2[/sup]を展開してｙについて解くと、[b]ｙ＝ax[sup]2[/sup]+bx+c[/b]の形になる。[br]これを[b][size=150]一般形[/size][/b]という。[br]グラフをx軸(y=0)について対称移動すると頂点(p,q)は(p,-q)に移動し[br]グラフ上の点(x,y)は(x,-y)に移動する。[br]だから、式はy=-([b]ax[sup]2[/sup]+bx+c)=-[b]ax[sup]2[/sup]-bx-cになる。すべての係数の符号が反転する。[br][/b][/b]グラフをy軸(x=0)について対称移動すると頂点(p,q)は(-p,q)に移動し[br]グラフ上の点(x,y)は(-x,y)に移動する。[br]だから、式はy=-[b]a(-x)[sup]2[/sup]+b(-x)+c=[b]ax[sup]2-[/sup]bx+cとなる。[br]１次の係数だけ符号が反転する。[br][/b][/b]グラフをx軸、y軸について続けて対称移動すると、[br]原点について対称移動する。[br]頂点(p,q)は(p,q)に移動し、グラフ上の点(x,y)は(-x,-y)に移動する。[br]すべての係数を反転させてから、１次の係数を反転させることになるから、[br]結果として、[b]２次の項と定数項の符号が反転する。[/b][b]ｙ＝-ax[sup]2[/sup]+bx-cとなる。[br][size=150][br]＜一般形の平方完成＞[/size][/b][br][color=#0000ff][b][size=150]一般形ｙ＝ax[sup]2[/sup]+bx+cは標準形y=a(x-p)[sup]2[/sup]+qに変形する[/size][/b][/color]と、[br]一般形の定数項ｃからｙ切片はすぐわかる。[br]一般形を標準形に変形すると、さらに頂点（p，q）、軸ｘ＝pの情報が増やせるね。[br]この変形を[b]平方完成[/b]という。[br]平方完成という変形は、解の公式を導くときとほぼ同じで、[br]　＝０という形からの定数移項処理がないだけ。[br]　（手順１）定数項以外をaでくくる。１次の項はb/aになる。[br]　（手順２）１次の項を÷２して、２乗の展開式に直す。[br]　　カッコ２乗の中はx+b/2aとなり、これがｘ-pに相当する。[br]　　カッコ２乗の外にもともとあるｃの他に-(b/2a)²を追加する。[br]　（手順３）カッコ２乗の外の定数部分c -(b/2a)[sup]2[/sup]をまとめた値が+qに相当する。[br]　（手順４）グラフを書くときは、aの正負、線対称の軸がx=p, 頂点(p,q)、[br]　　　　　ｙ切片y=c、頂点のまわりはなだらかに円をかくような曲線、などを意識するとよい。