Números Imaginarios - Números Complejos
Los números reales no dan solución a todos los problemas matemáticos por eso debemos IMAGINAR un nuevo conjunto.....
Table of Contents
- GUÍA DE TRABAJO: CONJUNTOS NUMÉRICOS
- ¿Cómo surgen los n° imaginarios?
- Origen de los números imaginarios
- Definición y uso de los N° imaginarios
- ¿Qué son los números imaginarios?
- Usos
- Definición de N° complejo
- Definición Número Complejo
- Representación gráfica de un número complejo
- Practicar: Gráfica de Números Complejos.
- Potencias de la unidad imaginaria
- Números complejos: potencias de i
- Escribe el resultado final de cada una de las siguientes potencias de i
- Opuesto y Conjugado
- Opuesto y Conjugado de un Complejo
- Práctica Opuesto y Conjugado
- OPERACIONES
- Suma y Resta
- Demostración geométrica de la SUMA de Complejos
- Multiplicación de Números Complejos
- División de Números Complejos
- Operaciones con números complejos
- Práctica final de Números complejos
Origen de los números imaginarios
Qué son los números imaginarios y por qué sin ellos no podrías leer esto
[br][br][img]https://cdn.pixabay.com/photo/2012/04/23/17/06/symbols-39109__340.png[/img][br][br][size=100][size=150]En la Italia renacentista de comienzos del siglo XVI uno de los espectáculos callejeros más populares en la ciudad universitaria de Bolonia eran los duelos. Pero no solo los de espadas. También había combates puramente intelectuales.[br][br]Se trataba de desafíos matemáticos, en los que dos o más expertos batallaban por encontrar la solución a un problema. El duelo se llevaba a cabo en plazas públicas y era seguido por miles de habitantes.[br][br]Fue en esta época que algunos matemáticos italianos se empezaron a dar cuenta de que algunas ecuaciones eran imposibles de resolver.[br][br]En particular, aquellas cuya resolución requería calcular la [b]raíz cuadrada de números negativos.[br][/b][br]Esto se debe a que los números negativos, cuando son multiplicados, siempre producen un resultado positivo. Por ejemplo: (-2) × (-2) = 4 (no -4).[br][br]Pero los matemáticos Niccolo Fontana (alias Tartaglia) y Gerolamo Cardano se dieron cuenta de que si permitían la existencia de raíces cuadradas negativas, podían resolver ecuaciones verdaderas -o con "números reales", como se conoce a los números que poseen una expresión decimal-.[br][br]Fue así como crearon una unidad nueva, imaginando la raíz cuadrada de -1 (o √-1 en términos matemáticos).[br]En 1573 otro matemático renacentista, Rafael Bombelli, explicó cómo funcionaba la aritmética con este nuevo concepto, en una obra llamada "Álgebra".[br][br]Allí señaló que la unidad nueva no era positiva ni negativa y, por lo tanto, no obedecía las reglas habituales de la aritmética.[br][br]Por cerca de un siglo muchos pensadores rechazaron esta nueva idea, llamando a esta unidad inventada "ficticia, imposible o sin sentido".[br][br]Uno de los detractores fue el filósofo francés René Descartes, quien en su obra "La Géométrie" (1637) bautizaría a la invención con el término despectivo de "[b]números imaginarios"[/b].[br]Pasarían muchas décadas más para que los matemáticos empezaran a aceptar a estos números imaginarios, que desafiaban la lógica, como algo válido y genuino.[br][br]En 1707, otro francés, Abraham de Moivre, relacionó los números imaginarios con la geometría, logrando así usar esta disciplina para resolver complejos problemas algebraicos. Setenta años más tarde, los números imaginarios tendrían finalmente su propio símbolo: i (gracias al matemático suizo Leonhard Euler). Y su uso permitiría extender el sistema de números reales (R) al sistema de números complejos (C), donde se combinan números reales con números imaginarios.[br][br]Quizás todo esto suena como algo completamente abstracto y sin utilidad real, que solo podría interesarle a intelectuales que viven en el mundo de las ideas, pero eso está lejos de la realidad.[br][br]En el siglo XX, los números imaginarios empezaron a tener muchos usos prácticos, permitiendo a ingenieros y físicos, entre otros, resolver problemas que de otra forma no hubieran tenido solución.[/size][/size]
¿Qué son los números imaginarios?
Definimos los números imaginarios
Los[b] números imaginarios[/b] forman parte del conjunto de los [b]NÚMEROS COMPLEJOS [/b]y son el producto de un [url=https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html]número real[/url] por la unidad imaginaria i [br]En otras palabras, los números imaginarios son números complejos que pueden escribirse como la multiplicación de la [url=https://economipedia.com/definiciones/unidad-imaginaria.html]unidad imaginaria[/url] i por un número real cualquiera. [br][br][b]EJEMPLO[br][/b][br]En las operaciones matemáticas que hacemos día a día encontramos números imaginarios más veces de las que creemos. Veámoslo resolviendo la siguiente raíz cuadrada: [br][br] [img]https://economipedia.com/wp-content/uploads/Ejemplo-n%C3%BAmeros-imaginarios.png[/img][br]¿Cuántas veces hemos estado resolviendo una ecuación cuadrática y hemos dicho que no había solución porque nos encontramos con una raíz negativa? Pues bien, esta raíz negativa, sea la que sea, se puede descomponer, tal y como se indica arriba, y llegar a tener un número real y la unidad imaginaria. En este caso, la parte real es el número 8 y la parte imaginaria es la raíz cuadrada de -1. [br]La raíz cuadrada de -1 es conocida como la unidad imaginaria. [br][br] [img width=86,height=42]https://economipedia.com/wp-content/uploads/Unidad-imaginaria.png[/img] [b]Unidad imaginaria[br][/b][br]Entonces, la solución de esta raíz sería: [br][img width=196,height=91]https://economipedia.com/wp-content/uploads/Soluci%C3%B3n-de-una-ra%C3%ADz-cuadrada-negativa.png[/img][br][br][i](su otra solución sería -8i)[br][/i][br][b]Los números imaginarios forman parte del conjunto de los números complejos el cual se divide en números reales y números imaginarios. [/b][br][br][list][*]Se utiliza la i para denotar la unidad imaginaria dado que proviene del inglés, [i]imaginary numbers[/i]. [br][/*][/list]
Definición Número Complejo
[b][br][list][*][b]Un número complejo es un par ordenado de números,[/b] donde la primera componente se llama parte real y a la segunda se le llama parte imaginaria (éstas dos componentes son números reales). [br][/*][/list][/b][br]Cuando pensemos en números complejos, debemos pensar en el adjetivo de “completo” más que en el adjetivo de “complicado”. Completo en el sentido que comprende ambos mundos: el real y el imaginario.[br]En general a estos números se los designa con la letra z[br] [br][list][*][b]Formas de escribir un número complejo: [/b]existen varias formas de escribirlos pero solo veremos dos de ellas[/*][/list][i] F[b]orma cartesiana.[/b] [/i][br][img]https://matematicayfisicaenlinea.files.wordpress.com/2019/05/forma-cartesiana-de-un-complejo.png[/img][br][b][i]Forma binómica: [/i][/b][br][br] [size=150][size=200] z[sub]1[/sub]= [color=#00ff00]a [/color]+ [color=#ff0000]b [/color]i [/size] [color=#ff0000] [b]Forma binómica [/b][/color][/size][size=150][color=#ff0000][b][br][/b][/color][/size][size=150][b][size=200][size=100][color=#00ff00]a[/color]: componente real [color=#ff0000] b[/color]: componente imaginaria[/size][/size][/b][/size][size=150][size=100][br][/size][/size][br][list][*][b]Para representarlos gráficamente utilizamos el plano complejo[/b][/*][/list][size=150][size=200][size=100][br][img]http://eltamiz.com/elcedazo/wp-content/uploads/2016/03/complejo_01.jpg[/img][br][b]CONCLUSIONES:[br][/b]Si [b]z = a + 0 i [/b] se llama [b][color=#ff0000]REAL[/color][b](Si un complejo tiene parte imaginaria nula es un número real)[/b][/b][br]Si [b]z = 0 + b i [/b] se llama [b][color=#0000ff]IMAGINARIO PURO [/color](Si un complejo tiene parte real nula es un imaginario puro)[/b][br][b][list][*][b]Esquema de inclusión de los conjuntos en los Números Complejos[/b][/*][/list][/b][/size][/size][/size] [br][img]http://2.bp.blogspot.com/-UFWZZ1fBK9U/VnwNEOeaNsI/AAAAAAAABHI/ToYZngpKJMk/s1600/ecuacion2.jpg[/img][br][center][/center][br][br][br]
En el siguiente video (hasta el minuto 10) podrás ver lo arriba explicado
Números complejos: potencias de i
[color=#1551b5][b]Para obtener más ejemplos haga click en "Nuevo ejemplo".[/b][/color]
Potencias de i
Regla Práctica para calcular las potencias de i
Opuesto y Conjugado de un Complejo
[br]Repasemos..[br][list][*]Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.[br]El número a es la parte real del número complejo.[br]El número b es la parte imaginaria del número complejo.[/*][/list][list][*]Si[b] b = 0,[/b] el número complejo se reduce a un [b]número real [/b]ya que a + 0i = a.[br]Si [b]a = 0,[/b] el número complejo se reduce a "bi" y se dice que es un número [b]imaginario puro.[/b][br]El conjunto de todos números complejos se designa por C.[/*][/list][br]Definiremos ahora [br][br][list][*][b]OPUESTO de un complejo: [/b][/*][/list]Los números complejos z = a + bi y z = -a - bi se llaman opuestos (tanto su componente real como la imaginaria son opuestas)[br][br][list][*][b]CONJUGADO de un complejo[/b][/*][/list][br]Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados (sus componentes imaginarias son opuestas)[br][br][br]Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria. [br][br]Mueve el afijo del número complejo z para observar la relación entre el opuesta y el conjugado.