[right][size=50][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](August 2019; Beschleuigungsversuch Februar 2020)[br][/b][/color][/size][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right][size=85][size=50]Für dieses Applet benötigt man etwas Geduld: gedacht und versucht ist, dass Änderungen der veränderlichen Teile[br]zu Beginn schnell möglich sind. Die zeitaufwändige Neuberechnung und Anzeige der zahlreichen impliziten Kurven[br]sollte dann erst mit "[color=#980000][i][b]Kurven neu berechnen[/b][/i][/color]" erfolgen. [br][/size][br][br]Oben angezeigt: Die konforme, komplex-differenzierbare Abbildung [math]z\mapsto w=\sqrt{z}[/math] .[br][br]Die [color=#0000ff][i][b]Bild-Kurven[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] in der [math]z[/math]-Ebene werden in der [math]w[/math]-Ebene zunächst nur "halb" angezeigt: [br]Aus [math]z=r\cdot e^{i\cdot\varphi},-\pi\le\varphi\le +\pi[/math] wird [math]w=\sqrt{r}\cdot e^{\frac{i\cdot\varphi}{2}}[/math], dh. es werden nur Punkte [math]w[/math] mit [math]-\frac{-\pi}{2}\le\psi=\frac{\varphi}{2}\le\frac{\pi}{2}[/math] erfasst! [br]Die 2. Hälfte erhält man durch Spiegelung am Ursprung [math]w=-\sqrt{z}[/math][br]Die Bildkurven sind [b]CASSINI[/b]-[color=#0000ff][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] - man vergleiche auch das Kapitel [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168948][b][i]Berührorte oder Cassini-Kurven[/i][/b][/url].[br]Es sei [math]m[/math] der [color=#0000ff][i][b]Mittelpunkt [/b][/i][/color]eines der Kreise des Kreisbüschels in der [math]z[/math]-Ebene und es seien [math] f_{1/2}=\pm\sqrt{m}[/math] die Bildpunkte [br]in der [math]w[/math]-Ebene. Die Kurven in der [math]w[/math]-Ebene genügen der Gleichung:[br][/size][list][*][size=85] [math]\left|z-m\right|^2-r^2=\left|w^2-f^2\right|^2-r^2=\left|w-f_1\right|^2\cdot\left|w-f_2\right|^2-r^2=0[/math] oder [math]\left|w-f_1\right|\cdot\left|w-f_2\right|=\mathbf{const}[/math][/size][/*][/list][size=85]Das ist die charakterisierende Gleichung der [b]CASSINI[/b]-[color=#0000ff][i][b]Quartiken[/b][/i][/color].[br][color=#38761D][u][i][b]Kurz:[/b][/i][/u][/color] das Bild eines [color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color] oder einer [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] unter der komplexen [i][b]Wurzel-Funktion[/b][/i] ist eine [b]CASSINI[/b]-Quartik, wobei wir diese Bezeichnung wie im oben genannten Kapitel verwenden: enthalten in dieser Kurvenklasse sind auch gleichseitige Hyperbeln ([b]BERNOULLI[/b]-[color=#0000ff][i][b]Lemniskaten[/b][/i][/color]) und in 2 Kreise zerfallende Quartiken.[br][i][b]Möbiusgeometrisch[/b][/i] sind diese Kurven von Interesse als [color=#980000][i][b]Berührorte[/b][/i][/color]: Die Orte, in welchen sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter [i]konstantem[/i] Winkel schneiden, sind gerade die [b]CASSINI[/b]-[color=#0000ff][i][b]Quartiken[/b][/i][/color]. Betrachtet man nicht nur die Kreise eines [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color], sondern auch die [i][b]Kurven,[/b][/i] welche ein [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel [/b][/i][/color]unter konstantem Winkel schneiden - die [color=#9900ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] - so erklärt sich die Bezeichnung "[i][b]Berührorte[/b][/i]": in den [b]CASSINI[/b]-[color=#0000ff][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] berühren sich die zu 2 Winkeln gehörenden [color=#9900ff][i][b]Loxodromen[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]. [br]Siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/zHNtpeNX]Berührorte[/url] und [math]\hookrightarrow[/math] [/size][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/Ft3cJNkT][size=85][size=85]Berührort zweier Kreisbüschel[/size][/size][/url]