Geometría plana en 10mo grado
Este libro está diseñado para ayudar a los estudiantes de décimo grado a aprender y practicar los conceptos básicos de la geometría plana, como ángulos, triángulos, cuadriláteros, círculos, áreas y perímetros.
Table of Contents
- Elementos básicos de la geometría plana.
- ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
- Teorema de Pitágoras y razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
- Teorema de Pitágoras
- Teorema de Pitágoras
- Teorema de Pitágoras
- Teorema del seno y del coseno.
- Teorema del seno y del coseno
- Demostración del seno de la suma
- Teorema del Seno
- Teorema del Coseno
- Áreas de figuras planas.
- Áreas de figuras planas
- Areas básicas de figuras planas
- Perímetros y Áreas de figuras planas
ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
Elementos básicos de la geometría plana.
Bienvenidos al fascinante mundo de la trigonometría y la geometría, donde cada figura, cada línea y cada ángulo cuentan una historia matemática. Este libro está diseñado para acompañarte en tu viaje a través del décimo grado, donde explorarás desde los conceptos básicos de la geometría hasta las profundidades de la trigonometría. A través de GeoGebra, una herramienta dinámica y visual, descubrirás cómo la matemática se manifiesta en formas y relaciones que puedes ver y manipular.[br][br]El ejercicio que tienes ante ti es el primero de muchos que te guiarán paso a paso en este proceso de aprendizaje. Está pensado para que, con práctica y exploración, puedas trabajar de manera independiente y construir un sólido entendimiento de los temas presentados.
Representa en el plano los siguientes elementos:
[br][br]a) El punto A = (2, 3), B = (-1, 5) y C = (3, 4)[br][br]b) Traza el segmento AB.[br][br]c) Traza la recta que pasa por C y es paralela al segmento AB.[br][br]d) Traza una semirrecta con origen en el (0, 0)[br][br]e) Traza una recta perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio. [br][br]f) Determina el punto de intersección entre las rectas trazadas en c) y e). ¿Qué nombre[br]reciben estas rectas? [br][br]Orientaciones para el Ejercicio:[br][br]a) Identifica los puntos A = (2, 3), B = (-1, 5) y C = (3, 4) en tu plano de GeoGebra y márcales en color rojo.[br][br]b) Con la herramienta de segmento, traza la línea que une los puntos A y B y colórala de verde.[br][br]c) Utiliza la herramienta de paralelismo para dibujar una recta que pase por el punto C y sea paralela al segmento AB. Esta recta debe ser de color azul.[br][br]d) Desde el origen (0, 0), traza una semirrecta en cualquier dirección que elijas y colórala de negro.[br][br]e) Para trazar una recta perpendicular al segmento AB, primero encuentra su punto medio. Luego, con la herramienta de perpendicularidad, dibuja la recta que pasa por este punto y asegúrate de que sea azul.[br][br]f) Observa dónde se cruzan las rectas que has trazado en los pasos c) y e). Este punto de intersección es especial y las rectas tienen un nombre específico en geometría. Añade un texto en GeoGebra con la respuesta: estas rectas se llaman rectas transversales.[br][br]Recuerda seguir las indicaciones de color para cada elemento y utiliza la herramienta de texto para responder al último apartado. Con estas instrucciones, estás listo para comenzar tu aventura matemática. ¡Manos a la obra![br]
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
¡Saludos, exploradores de la geometría! Continuamos nuestro viaje matemático adentrándonos en el corazón de la trigonometría con un teorema que es la piedra angular de esta disciplina: el Teorema de Pitágoras. Este teorema no solo es fundamental para entender la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, sino que también es una herramienta esencial que nos acompaña en el estudio de la trigonometría.[br][br]Orientaciones para el Ejercicio[br][br]Hola nuevamente, amigos de las matemáticas, Nos embarcamos en la aventura de la Trigonometría y, como todo gran viaje, comenzamos con un paso firme: revisando el Teorema de Pitágoras. Este teorema es como una brújula que nos guiará a través de los misterios de los triángulos rectángulos.[br][br]Para iniciar nuestro descubrimiento, os propongo un desafío lúdico: un rompecabezas que pondrá a prueba vuestra habilidad para visualizar y construir.[br][br]Instrucciones del Rompecabezas:[br][br]Observa los dos cuadrados menores y familiarízate con sus dimensiones.[br]Coloca las piezas dentro de estos cuadrados, jugando con las formas y el espacio.[br]Ahora, el reto se intensifica: utilizando todas las piezas, intenta formar el cuadrado mayor.[br]Este ejercicio no solo es un juego, sino una forma práctica de comprender cómo el Teorema de Pitágoras se manifiesta en objetos que podemos tocar y manipular. Al resolver el rompecabezas, estarás aplicando los principios de este teorema sin siquiera darte cuenta.[br][br]Recuerda, cada pieza es parte de un todo mayor, y cada movimiento que haces es un paso más en tu comprensión de la trigonometría. ¡Disfruta del proceso y aprende jugando![br]
Pensando un poco...
Ahora que has armado el rompecabezas, ¿serías capaz de enunciar el teorema de Pitágoras?[br]Para ayudarte, te daré un consejo.[br][br]Al ensamblar, utilizando todas las piezas, los dos cuadrados más pequeños, rellenamos sus áreas, ¿verdad?[br]Al usar todas las piezas para ensamblar el cuadrado más grande, volvemos a rellenar su área, ¿de acuerdo?[br][br]Entonces, ¿Cuál es la relación entre el área de los cuadrados más pequeños y los más grandes?[br]Al responder a esta pregunta, podrás enunciar el Teorema de Pitágoras :)[br][br]¡Pon el enunciado del Teorema de Pitágoras a continuación para que pueda asegurarme de que lo entiendes correctamente!
Teorema del seno y del coseno
Introducción
[justify]Teoremas y Aplicaciones del Seno y Coseno[br]¡Bienvenidos al emocionante capítulo de los teoremas y aplicaciones del seno y coseno! Aquí, nos sumergiremos en el corazón pulsante de la trigonometría, donde descubriremos cómo estas razones trigonométricas son mucho más que simples funciones: son las claves que abren un universo de posibilidades en la resolución de problemas y en la comprensión del mundo que nos rodea.[br]El seno y el coseno son como dos faros que iluminan nuestro camino a través de las olas de la matemática, guiándonos con su luz constante hacia puertos de conocimiento y comprensión. En este capítulo, no solo aprenderás sobre sus definiciones y propiedades, sino que también explorarás su aplicación en situaciones reales y prácticas.[br]Orientaciones para el Estudio del Seno y Coseno:[br][br]Con esta introducción, te invitamos a abrir tu mente y a prepararte para una aventura matemática que te llevará desde la teoría hasta la práctica, desde el papel hasta la realidad. ¡Adelante, matemáticos del futuro, el mundo de la trigonometría os espera![br][br]A continuación, enunciamos ambos teoremas y daremos un ejemplo de aplicación. [/justify]
1. Teorema del seno
Sea un triángulo cualquiera con lados [math]a[/math], [math]b[/math] y [math]c[/math] y con ángulos interiores opuestos [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math] y [math]\gamma[/math], respectivamente, entonces [br][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/TSIN1.png[/img][/url][br][br]Además, si el triángulo está inscrito en una circunferencia de diámetro D, [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4-2.png[/img][br][br][br]Enlace: [url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html]Problemas de aplicación del [b]Teorema del seno[br][/b][/url]
2. Teorema del coseno
Dado el triángulo del resultado anterior, el teorema del coseno establece que[br][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/teorema-del-coseno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lados-angulo-demostracion-trigonometria.html][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/TCOS1.png[/img][/url][br][br]Enlace: [url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/teorema-del-coseno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lados-angulo-demostracion-trigonometria.html]Problemas de aplicación del [b]Teorema del seno[/b][/url]
3. Ejemplos de aplicación
[b]Problema 1[br][br][/b]Calcular el ángulo [math]\gamma[/math] del siguiente triángulo de lados [math]a=6cm[/math], [math]b=8cm[/math] y [math]c=12cm[/math]:[br][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/teorema-del-coseno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lados-angulo-demostracion-trigonometria.html][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/TCOSP3.png[/img][/url][br][br][u]Solución: [br][br][/u]Aplicamos la siguiente fórmula del teorema del coseno: [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/TCOSP2-1.png[/img][br][br]Sólo tenemos que sustituir los datos y aislar el ángulo [math]\gamma[/math]:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/TCOSP3-2.png[/img][br][br][b]Problema 2[br][br][/b]Calcular el radio y el diámetro de la circunferencia en la que está inscrita el siguiente triángulo del que sólo se conoce el ángulo [math]\alpha=38º[/math]:[br][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4.png[/img][/url][br][br][u]Solución:[br][br][/u]El teorema del seno proporciona el diámetro D:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4-1.png[/img][br][br]Conociendo ángulo [math]\alpha[/math] y su lado opuesto, [math]a[/math], podemos calcular el diámetro: [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4-2.png[/img][br][br]Sustituimos los datos: [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4-3.png[/img][br][br]Luego el diámetro mide [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4-4.png[/img]
4. Fuentes
[list][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html]Teorema del seno (con problemas)[/url][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/teorema-del-coseno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lados-angulo-demostracion-trigonometria.html]Teorema del coseno (con problemas)[/url][br][url=https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/identidades/identidades-trigonometricas-demostraciones-ejemplos.html]Identidades trigonométricas[/url][br][/list]
Áreas de figuras planas
Fórmulas
Ahora veréis las fórmulas para averiguar el área de cada una de las figuras planas:[br][br]- Triángulo: b · h/ 2[br]- Cuadrado: l[sup]2[/sup][br]- Rectángulo: b · h[br]- Rombo: D · d/2[br]- Romboide: b · h[br]- Trapecio: (B +b) · h/2[br]- Polígono regular( pentágono, hexágono...): P · a/2[br]- Círculo: [math]r[sup]2[br][/sup][/math]
Representado...