[size=50][right]Zur Verringerung der Ladezeit werden die impliziten Kurven erst nach [color=#980000][i][b]Änderung von n[/b][/i][/color] mit dem [color=#ff7700][i][b]button[/b][/i][/color] "[color=#ff7700][b]Schar neu berechnen[/b][/color]" angezeigt![/right][/size]

[right][size=85][size=50][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist auch eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [br][/size][/b][/i]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](August 2019)[br][/b][/color][/size][/size][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right][size=85][color=#0000ff][i][b]Elliptische Funktionen[/b][/i][/color] sind komplex-differenzierbare Funktionen [math]z\mapsto w=g\left(z\right)[/math], [br]welche einer [i][b]Differential-Gleichung[/b][/i] [/size][size=85][size=85]des Typs [/size]genügen [br][/size][list][*][size=85][math]g'\,^2=c\cdot\left(g-e_1\right)\cdot\left(g-e_2\right)\cdot\left(g-e_3\right)\cdot\left(g-e_4\right)[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Liegt einer der Nullstellen [math]e_i[/math] - wir sagen "[color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]" - in [math]\infty[/math], so liegt eine [b]WEIERSTRAß[/b]sche [math]\wp[/math]-Funktion vor.[br]Die oben angezeigten implizit definierten [color=#00ff00][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] sind Lösungen der [i][b]Differentialgleichung[/b][/i] [br]für die [b][i]reellen[/i][/b] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math]. [br]4 verschiedene [color=#ff0000][i][b]konzyklische[/b][/i][/color] Punkte [math]e_1,e,e_3,e_4\in\mathbb{C}[/math] lassen sich stets durch eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [br]auf 4 komplexe Punkte [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}\mbox{ mit }f\in\mathbb{R} [/math] auf der [math]x[/math]-Achse abbilden.[br]Die [i][b]Differentialgleichung[/b][/i] vereinfacht sich zu[br][/size][list][*][math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g^4-\left(f^2+\frac{1}{f^2}\right)\cdot g^2+1\right)[/math][br][/*][/list][size=85]Die [color=#9900ff][i][b]impliziten Gleichungen[/b][/i][/color] lauten:[br][list][*] [math]\left(x^2+y^2\right)^2-\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)\cdot x^2-\frac{\left(\left(f^2+\frac{1}{f^2}\right)\cdot\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)-4\right)\cdot f^2}{\left(f^2-s^2\right)\cdot\left(f^2-\frac{1}{s^2}\right)}\cdot y^2+1=0[/math], [br]wobei [math]f\in\mathbb{R}[/math] die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und [math]s\in\mathbb{R}[/math] die [color=#ff7700][i][b]Scheitel[/b][/i][/color] festlegen. [br][color=#ff0000][i][b]Nachtrag verbessert Februar 2020[/b][/i][/color]: in der 2. Klammer: [math]s^2+\frac{1}{s^2}[/math] statt [math]s^2-\frac{1}{s^2}[/math][/*][/list]Zwei der Kurven sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] [b]CASSINI[/b]-[color=#980000][i][b]Quartiken[/b][/i][/color].[br]Siehe die Kapitel [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168951]Hermitesche Abbildungen und bizirkulare Quartiken[/url] und [br][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168952]Quadratische Vektorfelder oder elliptische Funktionen[/url][br][br]Leider kann man (in [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]gebra[/b][/i][/color]?) die Kurven nicht mit einer [color=#38761D][i][b]explizit[/b][/i][/color] gegebenen komplexen Funktion anzeigen [br]wie zB. die zu [math]z\mapsto w=\sin\left(z\right)[/math] oder [math]z\mapsto w=\tan\left(z\right)[/math] gehörenden Kurven.[br][br]4 verschiedene [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] auf einem Kreis besitzen stets 4 [color=#980000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color] (einer davon ist imaginär!).[br]Sie lassen sich mit Hilfe einer [color=#0000ff][i][b]Möbius-Transformation[/b][/i][/color] so anordnen wie im Applet angezeigt.[br]Zu jeder Symmetrie gehören 2 [color=#999999][i][b]Scheitelkreise[/b][/i][/color]; [br]spiegelt man einen ausgewählten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] (hier [color=#00ff00][b]f[/b][/color]), an diesen [color=#999999][i][b]Scheitelkreisen[/b][/i][/color], so erhält man [color=#3c78d8][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [br]der zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color]. Diese liegen in einem elliptischen Kreisbüschel mit den Grundpunkten [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#a64d79][b]f#[/b][/color]; [br][/size][size=85][size=85][color=#a64d79][b]f#[/b][/color][/size] erhält man als Spiegelbild von [color=#00ff00][b]f[/b][/color] an den [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color]![br]Fällt [/size][size=85][size=85][size=85][color=#a64d79][b]f#[/b][/color][/size][/size] mit [math]\infty[/math] oder mit 1 zusammen, so ist die zugehörige Quartik [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformierte[/b][/i][/color] einer [b]CASSINI[/b]-Quartik. [br][br][color=#38761D][i][b]Gleichungen:[/b][/i][/color][br][list][*][color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] zur [color=#980000][i][b]y-Achsen-Symmetrie[/b][/i][/color]: [math]x^2+y^2-\frac{s^4-1}{f\cdot s^2}\cdot x+\frac{1}{f^2}=0[/math][/*][*][color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] zur Symmetrie am [color=#980000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color]: [math]x^2+y^2-\frac{2\cdot f\cdot\left(s^2-1\right)^2}{4\cdot f^2\cdot s^2-\left(s^2+1\right)^2}\cdot x-\frac{f^2\cdot\left(s^2+1\right)^2-4\cdot s^2}{4\cdot f^2\cdot s^2-\left(s^2+1\right)^2}=0[/math][br][/*][*][color=#0000ff][i][b]Leitkreis [/b][/i][/color]zur [color=#980000][i][b]elliptischen Symmetrie[/b][/i][/color]: [math]x^2+y^2-\frac{2\cdot f\cdot\left(s^2+1\right)^2}{4\cdot f^2\cdot s^2-\left(s^2-1\right)^2}\cdot x-\frac{f^2\cdot\left(s^2-1\right)^2-4\cdot s^2}{4\cdot f^2\cdot s^2-\left(s^2-1\right)^2}=0[/math][br][/*][*][size=85][size=85][size=85][color=#a64d79][b]f#[/b][/color][/size][/size][/size]: [math]f#=\frac{f^2\cdot\left(s^4+1\right)-2\cdot s^2}{f\cdot\left(2\cdot f^2\cdot s^2-s^4-1\right)}[/math][br][/*][*] [size=85][size=85][size=85][size=85][color=#a64d79][b]f# = [math]\infty[/math][/b][color=#000000], dann ist[/color][b] [math]s=\sqrt{f^2+\sqrt{f^4-1}}[/math] [/b][color=#000000][br]und man erhält die [b]CASSINI[/b]-Gleichung [math]\left|z-f\right|^2\cdot\left|z+f\right|^2=\left|z^2-f^2\right|^2=f^4-1[/math] .[br]Die [b]CASSINI[/b]-Quartik kann man mit der komplexen [color=#9900ff][i][b]Wurzelfunktion[/b][/i][/color] "konstruieren"![/color][/color][/size][/size][/size][/size][/*][*][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#a64d79][color=#000000][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#a64d79][b]f#[/b][/color][/size][/size][/size][/size][/size] = 1, dann ist [math]s=\frac{\sqrt{\sqrt{f^2+1}\cdot\left(f-1\right)+f^2-f+1}}{\sqrt{f}}[/math] [br]und man erhält die Gleichung [math]\left(x^2+y^2\right)^2-\frac{2\cdot\left(f^2-f+1\right)}{f}\cdot x^2-\frac{2\cdot\left(f^2+f+1\right)}{f}\cdot y^2+1=0[/math] [/color][/color][/size][/size][/size][/size][/*][/list][br]Die übrigen [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] können mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] "konstruiert" werden![br][br]Die Gleichungen wurden ohne großen Aufwand mit der längst vergangenen [color=#980000][b]CAS[/b][/color]-Software [color=#980000][i][b][math]\overrightarrow{ DERIVE }[/math][/b][/i][/color] berechnet![/size]