Im Folgenden gibt es die Möglichkeit, sich mit Hilfe des Geogebra-Applets Aufgaben stellen zu lassen und nachzurechnen. Beim Druck auf den Knopf "Lösungen" kann das selbst errechnete Ergebnis verglichen werden. Besonders hjilfreich ist es hier, sich die Abbildung der Funktionsgraphen und der zu berechnenden Flächenbilanzen oder Flächen anzusehen. Oft kann man schon durch eine Abschätzung über das Bild herausfinden, ob man wohl richtig gerechnet hat oder nicht.

Gegeben ist eine Funktion [math]f(x)=x^3-4\cdot x^2- x+4[/math]. Berechnet werden soll die Flächenbilanz im Intervall [math][-1;3][/math]. Dazu muss einfach das Integral von [math]-1[/math] bis [math]3[/math] berechnet werden:[br][math]\begin{array}{lll}[br]\text{Flächenbilanz}&=\int\limits_{-1}^{3}(x^3-4\, x^2- x+4 )\,dx&{\phantom r}\\[br]{\phantom r}&=\left[ \frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}\, x^3 -\frac{1}{2}\,x^2+4\, x \right]_{-1}^3& {\phantom r}\\[br]{\phantom r}&= \frac{1}{4}\, 3^4-\frac{4}{3}\, 3^3 -\frac{1}{2}\, 3^2+4\cdot 3 &\mathbf\fgcolor{#AA0000}{-} \left( \frac{1}{4}\,(-1)^4-\frac{4}{3}\, (-1)^3 -\frac{1}{2}\,(-1)^2+4\cdot (-1) \right)\\[br]{\phantom r}&= \frac{1}{4}\, 3^4-\frac{4}{3}\, 3^3 -\frac{1}{2}\, 3^2+4\cdot 3 &\mathbf\fgcolor{#AA0000}{-} \;\;\,\frac{1}{4}\,(-1)^4\mathbf\fgcolor{#AA0000}{+}\frac{4}{3}\, (-1)^3 \mathbf\fgcolor{#AA0000}{+}\frac{1}{2}\,(-1)^2\mathbf\fgcolor{#AA0000}{-}4\cdot (-1) \\[br]{\phantom r}&=-\frac{33}{4}&-\left( -\frac{35}{12} \right)\\[br]{\phantom r}&=-\frac{16}{3}&{\phantom r}[br]\end{array}[br][/math][br][br]Mit dem CAS-Rechner [i]HP-Prime[/i]:[br][math]f(x)[/math] abspeichern und dann [math]\int\limits_{-1}^{3}f(x)dx [/math] eingeben

Wenn nicht die Bilanz, sondern tatsächlich die Fläche zwischen dem Graphen und der Abszisse berechnet werden soll, dann müssen die negativen und die positiven Flächen-Anteile separat berechnet und dann als positive Zahlen addiert werden:[br]Nehmen wir als Beispiel wieder die Funktion [math]f(x)=x^3-4\cdot x^2- x+4[/math] (siehe Bild oben).[br]Hier muss über den positiven Anteil der Fläche im Intervall [math]\[-1;1\][/math] und über den negativen Anteil im Intervall [math]\[1;3\][/math] separat integriert werden. Dort wo eine negative Fläche herauskommt, im zweiten Intervall, wird einfach das Minuszeichen weggestrichen. Mathematisch schreibt man ein solches "Minuszeichen-Wegstreichen" mit Hilfe von Betragsstrichen:[br]Mit [math]F(x)=\int f(x) \,dx=\frac 14\,x^4 - \frac 43\,x^3-\frac 12 \,x^2+4\,x+c[/math] gilt:[br][math]\begin{array}{rll}Fläche=& \left|\int\limits_{-1}^{1}f(x)dx \right|&+ \left|\int\limits_{1}^{3}f(x)dx \right| \\=&\left| F(1)-F(-1)\right|&+\left| F(3)-F(1)\right|\\[br]=&\left| \frac {16}{3}\right|&+\left| -\frac{32}{3}\right| \\=&\frac{16}{3}&+\frac{32}{3}\\=&\underline{\underline{16}}& \end{array}[/math][br][br]Mit dem CAS-Rechner [i]HP-Prime[/i] geht das mit einem Trick noch einfacher: Wenn man die Funktion unter dem Integralzeichen in Batragsstriche setzt, dann erhält man automatisch die Fläche:[br]Einfach [math]f(x)[/math] abspeichern und dann [math]\mathbf\mathit\fgcolor{#0000AA}{\int\limits_{-1}^{3}|\,f(x)\,|\,dx} [/math] eingeben.[br]Mit dem CAS kann man also - wie bei der Flächenbilanz - über das gesamte Integral durchintegrieren, man muss nur den [b]Betrag der Funktion[/b] [math]|f(x)|[/math] unter das Integral schreiben.