Elementare gebrochen-rationale Funktionen

Frederik Berger, Jan 1, 2021

Table of Contents

  1. Kapitel 1: Die Hyperbel
    1. 1.1 Definitionslücke und maximale Definitionsmenge
    2. 1.2 (Falscher) Graph
    3. 1.2 (Richtiger) Graph
    4. 1.3 Senkrechte Asymptoten
    5. 1.4 Waagrechte Asymptoten
  2. Kapitel 2: Der Parameter a
    1. Maximale Definitionsmenge und Asymptoten
    2. Spiegelung
    3. Ermitteln des Parameters a
    4. Ermitteln des Parameters a (Übung)
  3. Kapitel 3: Der Parameter b
    1. III.3.1 Definitionslücke und maximale Definitionsmenge
    2. III.3.2 Verschiebung des Graphen
    3. III.3.3 Asymptoten
    4. III.3.4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  4. Kapitel 4: Der Parameter c
    1. III.4.1 Definitionslücke und maximale Definitionsmenge
    2. III.4.2 Verschiebung des Graphen
    3. III.4.3 Asymptoten
    4. III.4.4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  5. Zusammenfassung: Die Parameter a, b, c, d
    1. Zusammenfassung: Die Parameter a, b und c

1.

Kapitel 1: Die Hyperbel

In diesem Kapitel werden die Eigenschaften der Funktion [math]f:x\mapsto\frac{1}{x}[/math] bzw. die Eigenschaften des zugehörigen Funktionsgraphen untersucht.

  • 1. 1.1 Definitionslücke und maximale Definitionsmenge
  • 2. 1.2 (Falscher) Graph
  • 3. 1.2 (Richtiger) Graph
  • 4. 1.3 Senkrechte Asymptoten
  • 5. 1.4 Waagrechte Asymptoten

1.1.

1.1 Definitionslücke und maximale Definitionsmenge

Hefteintrag
– Frederik Berger

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

Kapitel 2: Der Parameter a

In diesem Kapitel wird der Einfluss des Parameters [math]a[/math] auf den Graphen der Funktion [math]f[/math] mit [math]f(x)=\frac{a}{x}[/math] untersucht.

  • 1. Maximale Definitionsmenge und Asymptoten
  • 2. Spiegelung
  • 3. Ermitteln des Parameters a
  • 4. Ermitteln des Parameters a (Übung)

2.1.

Maximale Definitionsmenge und Asymptoten

Hefteintrag
Der Einfluss des Parameters a auf die Asymptoten des Funktionsgraphen
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomout.png[/icon]Variiere mit dem Schieberegler den Wert des Parameters [math]a[/math] und finde heraus wie bzw. ob sich die Asymptoten des Graphen ändern. Verwende dabei auch die Zoomfunktion. Beantworte anschließend die darunterstehnde Frage.
Übernehme die richtige Aussage in dein Heft! (Hinweis: Du kannst die Antworten einblenden, wenn du im Quizz unten rechts auf den Pfeil nach unten v drückst.)
– Frederik Berger

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Kapitel 3: Der Parameter b

  • 1. III.3.1 Definitionslücke und maximale Definitionsmenge
  • 2. III.3.2 Verschiebung des Graphen
  • 3. III.3.3 Asymptoten
  • 4. III.3.4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

3.1.

III.3.1 Definitionslücke und maximale Definitionsmenge

Nun betrachten wir elementare gebrochen-rationale Funktionen (kurz: GRF) der Form [math]x\mapsto\frac{a}{x+b}[/math]. Dabei wird untersucht, welchen Einfluss der Parameter [b][color=#ff7700]b[/color][/b] auf den Graphen einer solchen Funktion hat. Zunächst wird die [b]Definitionslücke [/b]der Funktion untersucht.
Beschreibe in einem Satz, wie man im Allgemeinen die Definitionslücke einer GRF (z. B. [math]x\mapsto\frac{1}{3+x}[/math]) bestimmt. Verwende dabei folgende Wörter (Die Reihenfolge der Wörter ist zufällig; Verben dürfen konjugiert werden):[br][br][b][color=#1e84cc]Null - Definitionslücke - Nenner - gebrochen-rationale Funktion - gleichsetzen [/color][br][br][/b](Hinweis: eine mögliche Lösung findest du unten drunter im Hefteintrag.)
Hefteintrag
Weitere Beispiele
– Frederik Berger

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Kapitel 4: Der Parameter c

Wir sind auf der Zielgeraden. Wir werden nun erfahren, welchen Einfluss der Parameter c auf den Graphen einer Funktion der Form [math]x\mapsto\frac{a}{x+b}+c[/math] hat.

  • 1. III.4.1 Definitionslücke und maximale Definitionsmenge
  • 2. III.4.2 Verschiebung des Graphen
  • 3. III.4.3 Asymptoten
  • 4. III.4.4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

4.1.

III.4.1 Definitionslücke und maximale Definitionsmenge

Nun betrachten wir elementare gebrochen-rationale Funktionen (kurz: GRF) der Form [math]x\mapsto\frac{a}{x+b}+c[/math]. Dabei wird untersucht, welchen Einfluss der Parameter [b][color=#6aa84f]c[/color][/b] auf den Graphen einer solchen Funktion hat. Zunächst wird die [b]Definitionslücke [/b]der Funktion untersucht.
Betrachte nochmal die obige App im Hinblick auf den [b]Parameter c [/b]und seinen [b]Einfluss auf die Definitionslücke[/b]. Kreuze dann alle zutreffenden Aussagen an.
Hefteintrag
Weitere Beispiele
– Frederik Berger

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

Zusammenfassung: Die Parameter a, b, c, d

  • 1. Zusammenfassung: Die Parameter a, b und c

5.1.

Zusammenfassung: Die Parameter a, b und c

[table][tr][td][img]https://www.flags.de/animierte-flaggen-gif/gifs/Zielflagge_180-animierte-flagge-gifs.gif[/img][/td][td]Wir sind auf der Zielgeraden! Bisher hast du zwar die Parameter [b][color=#1155cc]a[/color][/b], [color=#ff7700][b]b[/b][/color] und [b][color=#6aa84f]c[/color][/b] [br]schon genauestens untersuchst, aber den Fall, dass alle drei Parameter gemeinsam in einem Funktionsterm aufgetaucht sind (also [math]b\ne0[/math] und [math]c\ne0[/math]) haben wir bisher ausgelassen. Das ändert sich heute![/td][/tr][/table]
[b][color=#980000][size=150][size=200]1. Etappe[/size][/size][/color][/b][br][br]Gegeben sind die beiden Asymptoten der Funktion f. Finde durch Betätigung der Schieberegler einen passenden Funktionsterm.
Wie viele Graphen mit den beschriebenen Eigenschaften kann man finden?
[b][color=#980000][size=200]2. Etappe[/size][/color][/b][br][br]Diesmal ist nur bekannt, dass die Funktion g die beiden Asymptoten x = 3 und y = -2 besitzt. Finde einen möglichen Graphen von g.
Wie viele Graphen mit den beschriebenen Eigenschaften kann man finden?
[size=200][b][color=#980000]3. Etappe[/color][/b][br][/size][br]Die Funktion h besitzt die beiden Asymptoten und verläuft zudem durch den Punkt P(). Finde einen passenden Graphen von h.
Wie viele Graphen mit den beschriebenen Eigenschaften kann man finden?
[b][size=200][color=#980000]4. Etappe[/color][/size][/b][br][br]Von der Funktion k kennen wir die Asymptote y = -2, die Definitionslücke bei x = 2,5 und die Nullstelle bei x = 4. Betätige ein letztes mal die Schieberegler und finde einen möglichen Graphen.
Wie viele Graphen mit den beschriebenen Eigenschaften kann man finden?
Hefteintrag
Erklimme den Gipfel! Finde die richtigen Werte für b und c und kontrolliere mit "check". Pro richtige Antwort kommst du dem Gipfel eine Stufe näher. Pro Falsch Antwort fällst du aber wieder zwei Schritte zurück.
– Frederik Berger

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