[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/hzutqppm][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url]([color=#ff7700][i][b]27.04.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][right][size=85][size=85][i][color=#ff00ff]translation is in progress[/color][/i][/size][/size][/right]

[size=85]In the straight line space [math]\mathbf\mathcal{G}[/math] - i.e. in the [b]LIE[/b] algebra of the [b][i][color=#0000ff]Möbius group[/color][/i][/b] [b]SO(3,ℂ)[/b] with [b]SO(3,ℂ)[/b] [/size][size=85]- there is a [b][color=#cc0000]2[/color][/b]nd [b][i][color=#0000ff]symmetric bilinear [br]form[/color][/i][/b], given by a self-adjoint complex-linear mappin[/size][size=85]g [math]\mathbf{S}[/math] with [math]\mathbf\vec{g}_1\bullet \mathbf{S}\mathbf\vec{g}_2=\left(\mathbf{S}\mathbf\vec{g}_1\right)\bullet\mathbf\vec{g}_2[/math]. [br]This connects a [b][color=#cc0000]2[/color][/b]nd quadratic form [math]\mathbf{qu_S}[/math] [/size][size=85]and a [b][color=#cc0000]2[/color][/b]nd [b][i][color=#9900ff]quadric[/color][/i][/b] next to the [b][i][color=#9900ff]Möbius quadric[/color][/i][/b][/size][size=85] [math] \mathbf{Q_S}[/math].[br]The two [b][i][color=#9900ff]quadrics[/color][/i][/b] intersect in [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [/size][size=85]- possibly coincident - cut points, which we had called [b][i][color=#00ff00]focal points [/color][/i][/b]in the foregoing[/size][size=85].[br]The characterization of the possible cases is simple, since no case distinctions between real and non-real zeros are necessary:[br][list][*][b][color=#cc0000]4[/color][/b] different cut points[/*][list][*]the absolute Invariante [math]\mathbf\cal{J}[/math] of the [b][color=#cc0000]4[/color][/b] POINTS is non-real[/*][*][size=85]the absolute Invariante[/size] [math]\mathbf\cal{J}[/math] is real: [math]\mbox{ *** }\mathbf\cal{J}>0, \mbox{ *** } \mathbf\cal{J} < 0[/math] and the special cases: [math]\mathbf\cal{J} = 0,\mbox{ *** }\mathbf\cal{J} = -1[/math][/*][/list][*][b][color=#cc0000]2[/color][/b] single CUT POINTS and a double counting CUT POINT, ([b][i][color=#38761d]confocal[/color][/i][/b] midpoint [b][i][color=#ff7700]conic sections[/color][/i][/b]).[/*][*][b][color=#cc0000]2[/color][/b] double counting CUT POINTS [b][i][color=#ff0000](elliptical/hyperbolic[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]pencil of circles[/color][/b])[/*][*]1 single and one triple counting CUT POINT ([b][i][color=#ff7700]confocal parabolas[/color][/i][/b])[/*][*]one quadruple counting POINT ([b][i][color=#ff0000]parabolic pencil of circles[/color][/i][/b])[/*][/list]Move the POINTS in the applet.[/size]

[size=85]Es sei [math]\mathbf\mathit{S}:\mathbf\mathcal{G}\longrightarrow \mathbf\mathcal{G}[/math] eine [b][i][color=#a61c00]selbstadjungierte Abbildung[/color][/i][/b] mit [math]\mathbf{Spur}\left(\mathbf\mathit{S}\right)=0[/math].[br]Das charakteristische Polynom [math]p_\mathbf\mathit{S}(z)=z^3+g_2\,z-g_3[/math] bedeutet für [math]\mathbf\mathit{S}[/math]: [math]\mathbf\mathit{S}\,^3=g_3\cdot \mathbf{Id}-g_2\cdot\mathbf\mathit{S}[/math]. [br]Wir suchen "Wurzeln" von [math]\mathbf\mathit{S}[/math]. Damit ist folgendes gemeint: Die Schar [math]\mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\mathbf{Id},\;\lambda\in\mathbb{C}[/math] stimmt auf der [b][i][color=#0000ff]Möbiusquadrik[/color][/i][/b] [br]in [math]\mathbf\mathcal{G}[/math] mit [math]\mathbf\mathit{S}[/math] überein. [br]Als [i][b]Wurzel[/b][/i] von [math]\mathbf\mathit{S}[/math] bezeichnen wir eine [/size][size=85][b][i][color=#a61c00]selbstadjungierte Abbildung[/color][/i][/b][/size][size=85] [math]\mathbf\mathit{T}[/math] mit [math]\mathbf\mathit{T}\,^2 = \mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\mathbf{Id} [/math]. [br]Auflösung der Suche:[br][list][*]Die Schar [math]\mathbf\mathit{S}_\lambda :=\mathbf\mathit{S}\,^2+\lambda\cdot\mathbf\mathit{S}+\frac{g_2-\lambda^2}{2}\cdot\mathbf{Id}[/math], [math]\lambda\in \mathbb{R}\mbox{ oder }\lambda\in\mathbb{C}[/math][/*][/list]sind die Wurzeln von [math]\mathbf\mathit{S}[/math]. [br]Man kann nachrechnen, dass [math]\mathbf\mathit{S}_\lambda\,^2=-p_\mathbf\mathit{S}\left(\lambda\right)\cdot\mathbf\mathit{S}+q(\lambda)\cdot\mathbf{Id}[/math] mit [math]q(\lambda)=2\lambda \,g_3+\left(\frac{g_2-\lambda^2}{2}\right)^2[/math] gilt.[br][/size][size=85]Welche [b][i][color=#0000ff]geometrische Bedeutung[/color][/i][/b] diese einem quadratischen Vektorfeld zugeordneten komplexen Quadrikscharen [br]für den Fall besitzen, dass die absolute Invariante [i][b]nicht-reell[/b][/i] ist, können wir nicht beantworten.[/size][br][size=85][i][b]Aber: [/b][/i] [/size] [br]I[size=85]st die [i][b]absolute Invariante [/b][/i]eines [i][b]quadratischen Vektorfeldes [/b][/i]reell, dann gelten folgende Aussagen:[br][list][*]Bei geeigneter Normierung[size=85] besitzt [/size] [math]\mathbf{S}[/math] in einer geeigneten Basis eine reelle Matrix.[br][/*][*]Es existiert mindestens eine Spiegelung [math]\mathbf{K}[/math], welche das Vektorfeld invariant läßt. [/*][*][math]\mathbf{K}[/math] ist mit der zugehörigen [size=85][b][i][color=#a61c00]selbstadjungierte Abbildung[/color][/i][/b][/size][size=85][/size] [math]\mathbf\mathit{S}[/math] vertauschbar. [br][/*][*]Die Schar [b][i][color=#9900ff]hermitescher Abbildungen[/color][/i][/b] [math]\mathbf\mathit{H}_{\lambda}=\mathbf{K}\cdot\mathbf\mathit{S}_{\lambda},\;\lambda\in \mathbb{R}[/math] sind die [i][b]HERMITEschen Wurzeln[/b][/i] von [math]\mathbf\mathit{S}[/math].[/*][*]Die [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b] [math] \mathbf\mathit{H}_\lambda\,\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet\mathbf\vec{p}\left(z\right)=0[/math] sind Integralkurven des [b][i]quadratischen Vektorfeldes[/i][/b]. [br] [/*][/list][/size]

[size=85]Eine reell-lineare Abbildung [math]\mathbf{H}:\mathbf\mathcal{G}\longrightarrow \mathbf\mathcal{G}[/math] heißt [b]HERMITE[/b]sch, wenn folgende Eigenschaften gelten:[br][/size][list][*][math]\mathbf{H}\circ i=-i\circ \mathbf{H}[/math][br][/*][*][size=85][math]\mathbf{H}\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf\vec{\tilde g}=\overline{\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf{H}\mathbf\vec{\tilde g}}[/math] für alle [math]\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{\tilde g}\in \mathbf\mathcal{G}[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Das Quadrat [math]\mathbf{H}^2[/math] einer [b]HERMITE[/b]schen Abbildung ist eine [b][i][color=#cc0000]selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung[/color][/i][/b].[br]Existiert zu einer [size=85][b][i][color=#a61c00]selbstadjungierten komplex-linearen Abbildung[/color][/i][/b][/size] [math]\mathbf{S}[/math] eine [b]HERMITE[/b]sche Abbildung [math]\mathbf{H}[/math] mit [math]\mathbf{H}^2=\mathbf{S}[/math],[br]so nennen wir [math]\mathbf{H}[/math] eine [b]HERMITE[/b]sche Wurzel von [math]\mathbf{S}[/math].[/size]

[size=85]Ist [math]\mathbf\vec{g}\in \large\mathbf\mathcal{G}[/math] irgendein Geradenvektor, so wird durch[/size][list][*][math] \mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{p}=1[/math] f[size=85]ür alle Berührgeradenvektoren[/size] [math] \mathbf\vec{p}\in \mathbf\mathcal{G} \mbox{ mit } \mathbf\vec{p}^2=0\mbox{ und } \mathbf\vec{p}^2\bullet \mathbf\vec{g}\ne 0[/math] [/*][/list][size=85]auf der [b][i][color=#0000ff]Möbiusquadrik[/color][/i][/b] ein [b]lineares Vektorfeld[/b] erklärt. [br]Je nach dem Typ von [math]\mathbf\vec{g}[/math] besitzen diese Vektorfelder eine oder zwei Nullstellen. [br]Die Nullstellen sind die Pole der "Infinitesimalen Bewegung" [math]\mathbf\vec{g}[/math]. [br]Gesucht sind die [i][b][color=#9900ff]Lösungskurven[/color] (Integralkurven)[/b][/i] dieser linearen Vektorfelder.[/size][br][size=85][i][b][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/b][/i][/size][size=85] sind die Bahnkurven von [b][i][color=#0000ff]W-Bewegungen[/color][/i][/b][/size][br][list][*][math]\mathbf{exp}(\; t\cdot \mathbf\vec{g}) := \sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}\left(\mathbf{ad}\; \mathbf\vec{g}\right)^n[/math]  [size=85]mit[/size] [math] \mathbf{ad}\; \mathbf\vec{g}[/math][size=85], erklärt durch[/size] [math] \mathbf{ad}\; \mathbf\vec{g}\left(\mathbf\vec{h}\right) :=\left[\,\mathbf\vec{g}\,,\mathbf\vec{h}\,\right]\mbox{ für alle }\mathbf\vec{h}\in\mathbf\mathcal{G}[/math], [math]t\in\mathbb{R}[/math] [size=85]oder[/size] [math]t\in\mathbb{C}[/math][/*][/list][size=85]Die [/size][size=85][i][b][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/b][/i][/size][size=85] sind [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] eines [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschels[/color][/i][/b] oder [b][i][color=#cc0000]Isogonaltrajektorien[/color][/i][/b] dieser [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] zu fixem Winkel. [/size][br] [size=85]siehe [/size][math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/XvXRJp4x][size=85][b][u][color=#980000]geogebrabook[/color][/u][i][u][color=#0000ff] Möbiusebene/Lineare Vektorfelder[/color][/u][/i][/b][/size][/url]

[size=85]Ist [math]\mathbf S[/math] eine selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung in [math]\mathbf\mathcal{G}[/math] [/size][size=85]wie oben, so wird durch[br][/size][list][*][size=85] [math] \mathbf{S\, \vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}=1[/math] f[size=85]ür alle Berührgeradenvektoren[/size] [math] \mathbf\vec{p}\in \mathbf\mathcal{G} \mbox{ : } \mathbf\vec{p}^2=0[/math][br][/size][/*][/list][size=85]ein [b][i]quadratisches Vektorfeld[/i][/b] erklärt.[br]Die Suche nach einer analytischen Lösungsfunktion [math]z\mapsto g\left(z\right)[/math] führt für Berührgeraden [math]\frac{1}{g'(z)}\cdot \mathbf\vec{p}(g(z))[/math][br]auf die [b][i][color=#9900ff]elliptische Differentialgleichung[/color][/i][/b][list][*][math]1= \frac{1}{(g'(z))^2}\mathbf{S\, \vec{p}}(g(z))\bullet\mathbf\vec{p}(g(z))=\frac{1}{(g'(z))^2}\left(g\left(z\right)-f_1\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_2\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_3\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_4\right)[/math][/*][/list]wobei [math]f_1,f_2,f_3,f_4[/math] in [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math] die Repräsentanten der [b][i][color=#ff0000]Nullstellen[/color][/i][/b] der qudratischen Form [math]\mathbf S[/math] sind.[/size]