elliptic differential-equations, bicircular quartics

 this activity is a page of geogebra-book elliptic functions & bicircular quartics & . . .(27.04.2023)

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In the straight line space - i.e. in the LIE algebra of the Möbius group SO(3,ℂ) with SO(3,ℂ) - there is a 2nd symmetric bilinear form, given by a self-adjoint complex-linear mapping with . This connects a 2nd quadratic form and a 2nd quadric next to the Möbius quadric . The two quadrics intersect in 4 - possibly coincident - cut points, which we had called focal points in the foregoing. The characterization of the possible cases is simple, since no case distinctions between real and non-real zeros are necessary:
  • 4 different cut points
    • the absolute Invariante of the 4 POINTS is non-real
    • the absolute Invariante is real: and the special cases:
  • 2 single CUT POINTS and a double counting CUT POINT, (confocal midpoint conic sections).
  • 2 double counting CUT POINTS (elliptical/hyperbolic pencil of circles)
  • 1 single and one triple counting CUT POINT (confocal parabolas)
  • one quadruple counting POINT (parabolic pencil of circles)
Move the POINTS in the applet.
Es sei eine selbstadjungierte Abbildung mit . Das charakteristische Polynom bedeutet für : . Wir suchen "Wurzeln" von . Damit ist folgendes gemeint: Die Schar stimmt auf der Möbiusquadrik in mit überein. Als Wurzel von bezeichnen wir eine selbstadjungierte Abbildung mit . Auflösung der Suche:
  • Die Schar ,
sind die Wurzeln von . Man kann nachrechnen, dass mit gilt. Welche geometrische Bedeutung diese einem quadratischen Vektorfeld zugeordneten komplexen Quadrikscharen für den Fall besitzen, dass die absolute Invariante nicht-reell ist, können wir nicht beantworten. Aber: Ist die absolute Invariante eines quadratischen Vektorfeldes reell, dann gelten folgende Aussagen:
  • Bei geeigneter Normierung besitzt in einer geeigneten Basis eine reelle Matrix.
  • Es existiert mindestens eine Spiegelung , welche das Vektorfeld invariant läßt.
  • ist mit der zugehörigen selbstadjungierte Abbildung vertauschbar.
  • Die Schar hermitescher Abbildungen sind die HERMITEschen Wurzeln von .
  • Die konfokalen bizirkularen Quartiken sind Integralkurven des quadratischen Vektorfeldes.
HERMITEsche Abbildungen
Eine reell-lineare Abbildung heißt HERMITEsch, wenn folgende Eigenschaften gelten:
  • für alle
Das Quadrat einer HERMITEschen Abbildung ist eine selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung. Existiert zu einer selbstadjungierten komplex-linearen Abbildung eine HERMITEsche Abbildung mit , so nennen wir eine HERMITEsche Wurzel von .
Lineare Vektorfelder
Ist irgendein Geradenvektor, so wird durch
  • für alle Berührgeradenvektoren
auf der Möbiusquadrik ein lineares Vektorfeld erklärt. Je nach dem Typ von besitzen diese Vektorfelder eine oder zwei Nullstellen. Die Nullstellen sind die Pole der "Infinitesimalen Bewegung" . Gesucht sind die Lösungskurven (Integralkurven) dieser linearen Vektorfelder. Lösungskurven sind die Bahnkurven von W-Bewegungen
  •  mit , erklärt durch , oder
Die Lösungskurven sind Kreise eines Kreisbüschels oder Isogonaltrajektorien dieser Kreise zu fixem Winkel. siehe geogebrabook Möbiusebene/Lineare Vektorfelder
Quadratische Vektorfelder
Ist eine selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung in wie oben, so wird durch
  • für alle Berührgeradenvektoren
ein quadratisches Vektorfeld erklärt. Die Suche nach einer analytischen Lösungsfunktion führt für Berührgeraden auf die elliptische Differentialgleichung
wobei in die Repräsentanten der Nullstellen der qudratischen Form sind.
– Walter Füchte

Information: elliptic differential-equations, bicircular quartics