Mit welcher Funktion können wir die Orts-Koordinaten einer Schwingung beschreiben? (z.B. aus der Physik: die Schwingung eines Federpendels)[br][br]Am folgenden Applet kann man erkennen: Die Schwingung lässt sich als "Schatten" einer gleichmäßigen Kreisbewegung interpretieren.
Allerdings kann man die Orts-Funktion der Schwingung schlecht als "Schatten einer Kreisbewegung" definieren... Also muss ein Funktionsterm her![br][br]Wir erkennen: Offensichtlich entspricht die Ortskoordinate des Pendels stets der y-Koordinate des Punktes auf dem Kreis. [br]Beim Pendel ändert sich die Ortskoordinate mit der Zeit, d.h. der y-Wert des Pendels hängt von t ab - die Funktion muss also die Form [math]y\left(t\right)[/math] haben. Beim Kreis ändert sich die Ortskoordinate aber auch mit dem Winkel. Statt einer Funktion [math]y\left(t\right)[/math] haben wir es also mit einer Funktion [math]y\left(\alpha\right)[/math] zu tun.[br][br]Unser Ziel ist also eine Funktion, die jedem Winkel gerade dem y-Wert auf dem Kreis zuordnet. [br]Allerdings brauchen wir immernoch einen Funktionsterm dafür![br][br]Betrachten wir einmal das folgende Applet: In ihm ist ein Kreis mit Radius 1 mit dem Mittelpunkt im Ursprung gezeichnet.
Für Winkel zwischen 0° und 90° erkennen wir nun:[br][math]sin\left(\alpha\right)=\frac{y}{1}=y[/math][br]Also: die y-Koordinate entspricht gerade dem [math]sin\left(\alpha\right)[/math][/math].[br][br]Damit führt man eine [b]neue und alternative Definition von Sinus und Cosinus ein (Die NICHTS mehr mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun hat und daher auch nicht auf Winkel zwischen 0° und 90° beschränkt ist!):[br][/b]Den Wert [math]sin\left(x\right)[/math] erhält man, indem man den Winkel x (wie oben) in den Einheitskreis einträgt. Der Wert [math]sin\left(x\right)[/math] ist dann die y-Koordinate des Schnittpunkts zwischen dem Kreis und dem zweiten Schenkel des Winkels.[br]Den Wert [math]cos\left(x\right)[/math] erhält man, indem man den Winkel x (wie oben) in den Einheitskreis einträgt. Der Wert [math]cos\left(x\right)[/math] ist dann die x-Koordinate des Schnittpunkts zwischen dem Kreis und dem zweiten Schenkel des Winkels.[br][br]Damit lässt sich nun eine Sinus- und eine Cosinus[b]funktion [/b]definieren:[br]Die Funktion [math]f\left(x\right)=sin\left(x\right)[/math] ordnet jedem Winkel x seinen entsprechenden Wert [math]sin\left(x\right)[/math] nach obiger Definition zu. [br][br]Die Graphen der beiden Funktionen lassen sich am folgenden Applet entdecken:
Mit den beiden neuen Funktionen lässt sich nun auch die Tangensfunktion definieren:[br][br][math]f\left(x\right)=tan\left(x\right)=\frac{sin\left(x\right)}{cos\left(x\right)}[/math]