[size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color][u][color=#0000ff][b] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/b][/color][/u]. [color=#ff7700][b](08. April. 2023)[/b][/color][br][color=#000000]Diese Seite ist auch eine Aktivität des [color=#ff7700][color=#000000][color=#980000][i][b]Geogebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV][color=#0000ff][u][b]Sechseck-Netze[/b][/u][/color][/url][/color][/color][/color][/right][/size]

[size=85]Die im [b][i][color=#9900ff]Inneren[/color][/i][/b] einer [b][i]2-teiligen[/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b] liegenden [b][i][color=#999999]doppelt berührenden[/color] [color=#ff0000]Kreise[/color] [/i][/b][br]und die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] durch das in einem der Flächenstücke liegenden [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b]-Paar erzeugen ein [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Netz[/color][/i][/b] aus [b][i]Kreisen[/i][/b][br]genau dann, wenn der haupt-achsen-symmetrische [b][i][color=#274e13]Fokalkreis[/color][/i][/b] durch die beiden [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] zugleich ein [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreis[/color][/i][/b] ist.[br][br]Als "[b][i][color=#9900ff]Inneres[/color][/i][/b]" bezeichnen wir die beiden von der [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] berandeten Flächenstücke, welche die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] enthalten.[br]Die [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] berühren die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] häufig nicht reell.[br]Durch jeden Punkt im [/size][size=85][b][i][color=#9900ff]Inneren[/color][/i][/b][/size][size=85] gehen genau [b][color=#cc0000]2[/color][/b] der [/size][size=85][b][i][color=#999999]doppelt berührenden[/color] [color=#ff0000]Kreise[/color] [/i][/b][/size][size=85].[br]Wie bei den Beispielen zuvor liefert auch das andere [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b]-Paar ein [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Netz[/color][/i][/b].[br]Der im [/size][size=85][b][i][color=#9900ff]Inneren[/color][/i][/b][/size][size=85] liegende [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreis[/color][/i][/b] berührt die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] auf dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] [math]c_E=x^2+y^2-1=0[/math].[br]Die Gleichung der [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b]:[br][/size][list][*][math]\left( x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+1=0[/math] [size=85]mit[/size] [math]A_x=\kappa\left(s\right)[/math] [size=85]und [/size][math]B_y=\frac{\kappa\left(f\right)\cdot\kappa\left(s\right)-1}{\kappa\left(f\right)-\kappa\left(s\right)}[/math][br][/*][/list][size=85]Für die Übersichtlichkeit der Formeln verwenden wir die [b][i][color=#38761d]komplexe Funktion[/color][/i][/b] [math]\kappa\left(u\right)=\frac{1}{2}\cdot\left( u^2+\frac{1}{u^2}\right)\[/math], in welcher sich[br]die Symmetrieen an den Achsen und am [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] [math]c_E[/math] spiegeln.[br][math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] sind die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] und [math]s,-s,\frac{1}{s},-\frac{1}{s}[/math] die [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] auf der [math]x[/math]-Achse mit [math]s>f>1[/math].[br]Die [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b][/size][size=85] auf dem [/size][size=85][b][i][color=#bf9000]Einheitskreis [/color][/i][/b][/size][size=85]sind [math]s_E=\sqrt{\frac{\kappa\left(f\right)+1}{\kappa\left(s\right)+1}}+i\cdot\sqrt{\frac{\kappa\left(s\right)-\kappa\left(f\right)}{\kappa\left(s\right)+1}}[/math] und die zugehörigen Spiegelpunkte.[br]Die Gleichungen der beiden [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreise[/color][/i][/b] im Inneren: [math]cs_{E\pm}:=x^2+y^2\pm2\cdot\sqrt{\frac{\kappa\left(s\right)+1}{\kappa\left(f\right)+1}}+1=0[/math].[br][br]Die [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] lassen sich auf verschiedene Weisen konstruieren: mit Hilfe eines der [b][i][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/i][/b][br][/size][size=85]oder mit der auf der Seite [b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/jue2uh4y]6-Eck-Netz in 2-teiliger Quartik[/url][/color][/u][/i][/b] beschriebenen Methode, welche die Siegelungen [br]an den [math]y[/math]-achsen-symmetrischen [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]Scheitelkreisen[/color][/i][/b][/size][size=85] verwendet. [br]Wir wollen hier eine andere Konstruktion vorschlagen, die darauf beruht, dass die [b][i][color=#ff7700]Quartik [/color][/i][/b] [b][i][color=#ff00ff]Hüllkurve[/color][/i][/b] ([b][i][color=#ff00ff]Enveloppe[/color][/i][/b])[br]der [b][i][color=#999999]doppelt berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] ist.[br][br]Die [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] mit der Gleichung [math]cs_{E+}\cdot cs_{E-}-k^2\cdot c_E^2=0[/math] besitzt dieselben [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b][/size][size=85] auf dem [/size][size=85][b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b][/size][size=85] [math]c_E[/math].[br]Für [math]k^2=\frac{2\cdot\frac{\kappa\left(f\right)+1}{\kappa\left(s\right)+1}-\kappa\left(s\right)-1}{1-\kappa\left(s\right)}[/math] erhält man die Übereinstimmung [list][*][math]cs_{E+}\cdot cs_{E-}-k^2\cdot c_E^2=\left( x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+1[/math][/*][/list]Die im [/size][size=85][b][i][color=#9900ff]Inneren[/color][/i][/b][/size][size=85][b][i][color=#999999] doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] lassen sich darstellen als [b][i]quadratische Kombination[/i][/b] der [b][color=#cc0000]3[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b]: [br][/size][list][*][math]cdb_{\lambda}:=\lambda\cdot cs_{E+}+2\cdot k\cdot c_E+\frac{1}{\lambda}\cdot cs_{E_-}=0[/math] [size=85]mit [/size][size=85][/size][math]\lambda\in\mathbb{R}[/math][br][/*][/list][size=85]Für unsere Belange reicht die Gleichung in dieser Form: Setzt man die Koordinaten eines [b][i][color=#ff0000]Punktes[/color][/i][/b] [math]p[/math] im [/size][size=85][b][i][color=#9900ff]Inneren[/color][/i][/b][/size][size=85] in diese[br]Gleichung ein, so erhält man [b][color=#cc0000]2[/color][/b] Lösungen [math]\lambda_1,\lambda_2[/math] der quadratischen Gleichung, welche die zugehörigen [br][/size][size=85][b][i][color=#999999]doppelt berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] durch [math]p[/math] ergeben![br][br]Für das [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]6-Eck-Netz[/color][/i][/b] [/size][size=85] aus [/size][size=85][b][i][color=#999999]doppelt berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b][/size][size=85] im Applet sind also etliche quadratische Gleichungen zu lösen![br]Umso erstaunlicher ist, wie genau die [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Bedingung[/color][/i][/b] sich rechnerisch kontrollieren läßt![br][br][i]Bemerkungen[/i]: Um sämtliche [/size][size=85][b][i][color=#999999]doppelt berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] zu erfassen, müßte die Schar etwa durch eine Gleichung der Form[br][/size][list][*][math]cdb_{\lambda\mu}:=\lambda^2\cdot\ cs_{E+}+2\cdot k\cdot\lambda\cdot\mu\cdot c_E+{\mu^2}\cdot cs_{E_-}=0[/math] [size=85]mit [/size][math]\lambda,\mu\in\mathbb{R}[/math] [size=85]beschrieben werden.[/size][br][/*][/list][size=85]In dieser Gleichung sind die beiden vorgegebenen [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreise[/color][/i][/b] mit erfasst.[br]Die im Vorangegangenen beschriebene Charakterisierung [b][i][color=#ff7700]bizirkularer Quartiken[/color][/i][/b] als [b][i][color=#ff00ff]Hüllkurve[/color][/i][/b] einer Schar [br][/size][size=85][b][i][color=#999999]doppelt berührender[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] läßt sich auch für die anderen Scharen [/size][size=85][b][i][color=#999999]doppelt berührender[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] nutzen.[br]Beschrieben und begründet wird diese Charakterisierung in der [br] [math]\hookrightarrow[/math] Diss. von [b]Thomas Rainer Werner[/b] ([b]Erlangen 2011[/b]) "[b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.researchgate.net/publication/296063615_Rational_families_of_circles_and_bicircular_quartics]Rationale Kreisscharen und bizirkulare Quartiken[/url][/color][/u][/i][/b]" (zB. S 92 ff)[br]In der 139 Seiten umfassenden Arbeit über [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] und [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b][/size][size=85] wird allerdings der Begriff "[b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b]"[br]und die mit den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] zusammenhängenden Eigenschaften nur einmal im Zusammenhang mit [b]CASSINI[/b]-Kurven[br]erwähnt.[br]Man stelle sich eine grundlegende Arbeit über [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitte[/color][/i][/b] vor, in welcher [/size][size=85][b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b][/size][size=85] ([b][i][color=#00ff00]Foci[/color][/i][/b]) weder erwähnt [br]noch zur Charakterisierung dieser Kurven verwendet werden![/size]