[size=150][b]Definição[br][/b][/size]Dada uma função escalar de [math]n[/math] variáveis reais,[br][br] [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}[br]^n\quad\rightarrow\quad\mathbb{R}[/math][br] [math]X=\left(x_!,x_2,...,x_n\right)\quad\mapsto\quad f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)[/math][br],[br]se [math]f[/math] possui todas as derivadas parciais de primeira ordem em [math]X_0\in Dom\left(f\right)[/math], definimos o vetor gradiente de [math]f[/math] em [math]X_0[/math], denotado por [math]\nabla f\left(X_0\right)[/math], como[br][br] [math]\nabla f\left(X_0\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(X_0\right),\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(X_0\right),...,\frac{\partial f}{\partial n_n}\left(X_0\right)\right)[/math].

[size=150][b]Interpretação geométrica do vetor gradiente de funções escalares de duas variáveis[/b][/size][br][br]Considere a função[br][br] [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\quad\rightarrow\quad\mathbb{R}[/math][br] [math]X=\left(x,y\right)\quad\quad\mapsto\quad f\left(X\right)=f\left(x,y\right)[/math][br][br]Suponha que as derivadas parciais de [math]f[/math] existem e são contínuas no aberto [math]A\subseteq Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2[/math] e seja [math]\left(x_0,y_0\right)\in A[/math] um ponto pertencente à curva de nível [math]k[/math] de [math]f[/math]. Suponha ainda que [math]\nabla f\left(x,y\right)\ne\left(0,0\right)[/math]. Considere agora uma curva arbitrária [math]C[/math], que contém o ponto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math], e está inteiramente contida na curva de nível [math]k[/math] de [math]f[/math]. Além disso, suponha que [math]C[/math] é parametrizada pela função[br][br] [math]\gamma:Dom\left(\gamma\right)\subseteq\mathbb{R}\quad\rightarrow\quad\mathbb{R}^2[/math] [br] [math]t\quad\quad\quad\mapsto\quad\gamma\left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)[/math][br][br]e que [math]\gamma[/math] é diferenciável no intervalo aberto [math]I\subset Dom\left(\gamma\right)[/math], onde [math]I[/math] é um intervalo que contém [math]t_0[/math], onde [math]t_0[/math] é tal que [math]\gamma\left(t_0\right)=\left(x_0,y_0\right)[/math] e [math]\gamma\left(t\right)\in A[/math], para todo [math]t\in I[/math]. Além disso, vamos supor que [math]\vec{\gamma}'\left(t_0\right)\ne\left(0,0\right)[/math]. Observe que dizer que [math]C[/math] está inteiramente contida na curva de nível [math]k[/math] de [math]f[/math] se traduz em afirmar que [br][br] [math]f\left(\gamma\left(t\right)\right)=k,\quad\forall t\in Dom\left(\gamma\right)[/math][br][br]e, em particular, que [br][br] [math]f\left(\gamma\left(t\right)\right)=k,\quad\forall t\in I\subset Dom\left(\gamma\right)[/math] (1).[br][br][br]Derivando os dois lados da equação (1), obtemos que:[br][br] [math]\frac{d\left(f\left(\gamma\left(t\right)\right)\right)}{dt}=\frac{d\left(k\right)}{dt},\quad\forall t\in I[/math],[br][br]que, pela regra da cadeia, fornece[br] [br] [math]\nabla f\left(\gamma\left(t\right)\right).\vec{\gamma}'\left(t\right)=0,\quad\forall t\in I[/math].[br][br]Desta forma, em particular, temos que [br][br] [math]\nabla f\left(\gamma\left(t\right)\right).\vec{\gamma}'\left(t\right)=0[/math]. (2)[br][br]Lembrando que [math]\gamma'\left(t_0\right)[/math] fornece o vetor tangente à curva C no ponto [math]\gamma\left(t_0\right)=\left(x_0,y_0\right),[/math] como supusemos que [math]\nabla f\left(x_0,y_0\right)\ne\left(0,0\right)[/math] e [math]\vec{\gamma}'\left(t_0\right)\ne\left(0,0\right)[/math], a equação (2) acima afirma que [math]\nabla f\left(x_0,y_0\right)[/math] é perpendicular à curva [math]C[/math], no ponto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math]. Como [math]C[/math] é uma curva arbitrária contida na curva de nível [math]k[/math] de [math]f[/math], concluímos que [br][br] “ O vetor gradiente de [math]f[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] é perpendicular à curva de nível de [math]f[/math] que contém [math]\left(x_0,y_0\right)[/math]."[br][br]Dizemos assim, que [math]\nabla f\left(x_0,y_0\right)[/math] é um vetor normal à curva de nível [math]k[/math] de [math]f[/math], no ponto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math]. A equação cartesiana da reta normal que contém o ponto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math]. A equação desta reta é dada por [br][br] [math]\left(x,y\right)=\left(x_0,y_0\right)+\lambda\nabla f\left(x_0,y_0\right),\quad\lambda\in\mathbb{R}[/math] [br][br]Além disso, a reta que contém o ponto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] e é perpendicular a [math]\nabla f\left(x_0,y_0\right)[/math] é chamada de reta tangente à curva de nível [math]k[/math] de [math]f[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math]. A equação desta reta é dada por [br][br] [math]\nabla f\left(x_0,y_0\right)\left[\left(x-x_0,y-y_0\right)\right]=0[/math]

[size=150][b]Exemplo 1[/b][/size][br]A curva [math]C[/math], parametrizada pela função [math]\gamma:Dom\left(\gamma\right)\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2[/math], é uma curva que contém o ponto [math]\left(1,\sqrt{2}\right)[/math] e é tal que [math]f\left(\gamma\left(t\right)\right)=3[/math], [math]\forall t\in Dom\left(\gamma\right)[/math], onde [math]f\left(x,y\right)=x^2+y^2[/math]. Seja [math]t_0\in I\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(\gamma\right)[/math], tal que [math]\gamma\left(t_0\right)=\left(1,\sqrt{2}\right)[/math] e [math]\gamma'\left(t_0\right)\ne\left(0,0\right)[/math]. Determine a equação da reta normal e da reta tangente a [math]C[/math] no ponto [math]\left(1,\sqrt{2}\right)[/math].[br][br][br][color=#ff0000]Solução:[br][br][/color]Como a curva [math]C[/math] é tal que [math]f\left(\gamma\left(t\right)\right)=3,\quad\forall t\in Dom\left(\gamma\right)[/math], temos que [math]C[/math] está contido na curva de nível 3 de [math]f[/math] Sendo assim, como sabemos que o gradiente de uma[br]função ́e perpendicular as suas curvas de nível, vamos determinar o gradiente de [math]f[/math] no[br]ponto [math]\left(1,\sqrt{2}\right)[/math], pois, desta forma, teremos determinado um vetor perpendicular a [math]C[/math] no ponto [math]\left(1,\sqrt{2}\right)[/math]. Neste caso, temos que[br][br] [math]\nabla f\left(x,y\right)=\left(2x,2y\right)[/math][br] [math]\Longrightarrow\nabla f\left(1,\sqrt{2}\right)=\left(2,2\sqrt{2}\right)[/math].[br][br]Sendo assim, a equação da reta perpendicular a [math]C[/math] no ponto [math]\left(1,\sqrt{2}\right)[/math] é dada por [br][br] [math]\left(x,y\right)=\left(1,\sqrt{2}\right)+\lambda\nabla f\left(1,\sqrt{2}\right),\quad\lambda\in\mathbb{R}[/math][br] [math]\Longrightarrow\left(x,y\right)=\left(1,\sqrt{2}\right)+\lambda\left(2,2\sqrt{2}\right),\quad\lambda\in\mathbb{R}[/math][br][br]e a equação da reta tangente a [math]C[/math] no ponto [math]\left(1,\sqrt{2}\right)[/math] é dada por [br][br] [math]\nabla f\left(1,\sqrt{2}\right).\left[\left(x-1,y-\sqrt{2}\right)\right]=0[/math][br] [math]\Longrightarrow\left(2,2\sqrt{2}\right).\left[\left(x-1,y-\sqrt{2}\right)\right]=0[/math] [br][br]Nas figuras abaixo, temos um esboço do gráfico de [math]f[/math], do plano [math]z=3[/math], da curva [math]C[/math] e da reta tangente e da reta normal a [math]C[/math] no ponto [math]\left(1,\sqrt{2}\right)[/math].[br][br][br][br]No seguinte exemplo, você pode visualizar esta propriedade do vetor gradiente nas curvas de nível da função [math]f\left(x,y\right)=x^2+y^2[/math]. Lembramos que, para esta função, as curvas de nível são circunferências. [br][br]

[size=150][b]Exemplo 2 [/b][/size][br]A curva [math]C[/math], parametrizada pela função [math]\gamma:Dom\left(\gamma\right)\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2[/math], é uma curva que contém o ponto [math]\left(\sqrt{3},0\right)[/math] e é tal que [math]f\left(\gamma\left(t\right)\right)=3[/math]s, [math]\forall t\in Dom\left(\gamma\right)[/math], onde [math]f\left(x,y\right)=x^2+2sen\left(y\right)[/math]. Seja [math]t_0\in I\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(\gamma\right)[/math], tal que [math]\gamma\left(t_0\right)=\left(\sqrt{3},0\right)[/math] e [math]\gamma'\left(t_0\right)\ne\left(0,0\right)[/math]. Determine a equação da reta normal e da reta tangente a [math]C[/math] no ponto [math]\left(\sqrt{3},0\right)[/math].[br][br][br][color=#ff0000]Solução:[br][br][/color]Como a curva [math]C[/math] é tal que [math]f\left(\gamma\left(t\right)\right)=3,\quad\forall t\in Dom\left(\gamma\right)[/math], temos que [math]C[/math] está contido na curva de nível 3 de [math]f[/math] Sendo assim, como sabemos que o gradiente de uma[br]função ́e perpendicular as suas curvas de nível, vamos determinar o gradiente de [math]f[/math] no[br]ponto [math]\left(\sqrt{3},0\right)[/math], pois, desta forma, teremos determinado um vetor perpendicular a [math]C[/math] no ponto [math]\left(\sqrt{3},0\right)[/math]. Neste caso, temos que[br][br] [math]\nabla f\left(x,y\right)=\left(2x,2cos\left(y\right)\right)[/math][br] [math]\Longrightarrow\nabla f\left(\sqrt{3},0\right)=\left(2\sqrt{3},2\right)[/math].[br][br]Sendo assim, a equação da reta perpendicular a [math]C[/math] no ponto [math]\left(\sqrt{3},0\right)[/math] é dada por [br][br] [math]\left(x,y\right)=\left(\sqrt{3},0\right)+\lambda\nabla\left(\sqrt{3},0\right),\quad\lambda\in\mathbb{R}[/math][br] [math]\Longrightarrow\left(x,y\right)=\left(\sqrt{3},0\right)+\lambda\left(2\sqrt{3},2\right),\quad\lambda\in\mathbb{R}[/math][br][br]e a equação da reta tangente a [math]C[/math] no ponto [math]\left(\sqrt{3},0\right)[/math] é dada por [br][br] [math]\nabla f\left(\sqrt{3},0\right).\left[\left(x-\sqrt{3},y\right)\right]=0[/math][br] [math]\Longrightarrow\left(2\sqrt{3},2\right).\left[\left(x-\sqrt{3},y\right)\right]=0[/math] [br][br]Nas figuras abaixo, temos um esboço do gráfico de [math]f[/math], do plano [math]z=3[/math], da curva [math]C[/math] e da reta tangente e da reta normal a [math]C[/math] em um ponto qualquer. Sinta-se a vontade para manipular a curva de nível ou o ponto.

[size=150][b]Interpretação geométrica do vetor gradiente de funções escalares de três variáveis[/b][/size][br][br]Considere a função[br][br] [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^3\quad\rightarrow\quad\mathbb{R}[/math][br] [math]X=\left(x,y,z\right)\quad\quad\mapsto\quad f\left(X\right)=f\left(x,y,z\right)[/math][br][br]Suponha que as derivadas parciais de [math]f[/math] existem e são contínuas no aberto [math]A\subseteq Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^3[/math] e seja [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)\in A[/math] um ponto pertencente à superfície de nível [math]k[/math] de [math]f[/math]. Suponha ainda que [math]\nabla f\left(x,y,z\right)\ne\left(0,0,0\right)[/math]. Considere agora uma superfície arbitrária [math]C[/math], que contém o ponto [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math], e está inteiramente contida na superfície de nível [math]k[/math] de [math]f[/math]. Além disso, suponha que [math]C[/math] é parametrizada pela função[br][br] [math]\gamma:Dom\left(\gamma\right)\subseteq\mathbb{R}\quad\rightarrow\quad\mathbb{R}^2[/math] [br] [math]t\quad\quad\quad\mapsto\quad\gamma\left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)[/math][br][br]e que [math]\gamma[/math] é diferenciável no intervalo aberto [math]I\subset Dom\left(\gamma\right)[/math], onde [math]I[/math] é um intervalo que contém [math]t_0[/math], onde [math]t_0[/math] é tal que [math]\gamma\left(t_0\right)=\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math] e [math]\gamma\left(t\right)\in A[/math], para todo [math]t\in I[/math]. Além disso, vamos supor que [math]\vec{\gamma}'\left(t_0\right)\ne\left(0,0,0\right)[/math]. Observe que dizer que [math]C[/math] está inteiramente contida na superfície de nível [math]k[/math] de [math]f[/math] se traduz em afirmar que [br][br] [math]f\left(\gamma\left(t\right)\right)=k,\quad\forall t\in Dom\left(\gamma\right)[/math][br][br]e, em particular, que [br][br] [math]f\left(\gamma\left(t\right)\right)=k,\quad\forall t\in I\subset Dom\left(\gamma\right)[/math] (1).[br][br][br]Derivando os dois lados da equação (1), obtemos que:[br][br] [math]\frac{d\left(f\left(\gamma\left(t\right)\right)\right)}{dt}=\frac{d\left(k\right)}{dt},\quad\forall t\in I[/math],[br][br]que, pela regra da cadeia, fornece[br] [br] [math]\nabla f\left(\gamma\left(t\right)\right).\vec{\gamma}'\left(t\right)=0,\quad\forall t\in I[/math].[br][br]Desta forma, em particular, temos que [br][br] [math]\nabla f\left(\gamma\left(t\right)\right).\vec{\gamma}'\left(t\right)=0[/math]. (2)[br][br]Lembrando que [math]\gamma'\left(t_0\right)[/math] fornece o vetor tangente à superfície C no ponto [math]\gamma\left(t_0\right)=\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math] como supusemos que [math]\nabla f\left(x_0,y_0,z_0\right)\ne\left(0,0,0\right)[/math] e [math]\vec{\gamma}'\left(t_0\right)\ne\left(0,0,0\right)[/math], a equação (2) acima afirma que [math]\nabla f\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math] é perpendicular à superfície [math]C[/math], no ponto [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math]. Como [math]C[/math] é uma superfície arbitrária contida na superfície de nível [math]k[/math] de [math]f[/math], concluímos que [br][br] “ O vetor gradiente de [math]f[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math] é perpendicular à superfície de nível de [math]f[/math] que contém [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math]."[br][br]Dizemos assim, que [math]\nabla f\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math] é um vetor normal à curva de nível [math]k[/math] de [math]f[/math], no ponto [math]\left(x_0,y_0,z_{_0}\right)[/math]. A equação cartesiana da reta normal que contém o ponto [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math]. A equação desta reta é dada por [br][br] [math]\left(x,y,z\right)=\left(x_0,y_0,z_0\right)+\lambda\nabla f\left(x_0,y_0,z_0\right),\quad\lambda\in\mathbb{R}[/math] [br][br]Além disso, a reta que contém o ponto [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math] e é perpendicular a [math]\nabla f\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math] é chamado plano tangente à superfície de nível [math]k[/math] de [math]f[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math]. A equação desta reta é dada por [br][br] [math]\nabla f\left(x_0,y_0,z_0\right)\left[\left(x-x_0,y-y_0,z-z_0\right)\right]=0[/math].[br][br]Abaixo apresentamos um applet para uma melhor visualização desse conceito.

[size=150][size=100][b]Observação: [/b]Lembre-se que se a curva [math]C_{10}[/math] é a curva dada pela interseção do gráfico de [math]f[/math]com o plano [math]y=y_0[/math], vimos que a reta tangente à curva [math]C_{10}[/math]no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math][/size], na forma cartesiana, é dada pelas equações[br][br][b] [math]\text{\begin{cases} z - f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0) (x - x_0) \\ y = y_0 \end{cases} }[/math][br][br][/b][/size][size=100] da mesma forma, se a curva [math]C_{20}[/math] é a curva dada pela interseção do gráfico de [math]f[/math] com o plano [math]x=x_0[/math], vimos que a reta tangente à curva [math]C_{20}[/math]no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math], na forma cartesiana é dada pelas equações[br][math]\text{\begin{cases} z - f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial y} (x_0,y_0)(y - y_0) \\ x = x_0 \end{cases}}[/math]Observe que as retas tangentes às curvas [math]C_{10}[/math]e [math]C_{20}[/math]no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math], estão contidas no plano tangente ao gráfico da função [math]f[/math]no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math].[br][br]Podemos reescrever a equação do plano tangente ( apresentada na sessão "Plano Tangente"), na forma[br][br][math]\left(\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right),\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right),-1\right).\left(x-x_0,y-y_0,z-f\left(x_0,y_0\right)\right)=0[/math][br]Sendo assim, fica evidente que o vetor [br][br] [math]\left(\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right),\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right),-1\right)[/math][b][br][/b]é perpendicular ao plano tangente, de modo que podemos definir [i]reta normal [/i] ao gráfico da função [math]f[/math]. Confira a definição abaixo.[br][br][b][br]Definição:[/b][br][/size][br]Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math]uma função diferenciável em [math]\left(x_0,y_0\right)\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math]. A reta [br][br][math]\left(x,y,z\right)=\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)+\lambda\left(\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right),\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right),-1\right),\quad\lambda\in\mathbb{R}[/math]denomina-se [i]reta normal [/i] ao gráfico de [math]f[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math].[br][br][br]Note que o vetor perpendicular ao plano tangente ao gráfico da função [math]f[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0.f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math], é dado por [math]\left(\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right),\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right),-1\right)[/math] é igual ao produto vetorial dos vetores [math]\left(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)\right)[/math] e [math]\left(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)\right)[/math], que são os vetores tangentes às curvas [math]C_{10}\text{ }[/math] e [math]C_{20}[/math], que são as curvas dadas, respectivamente, pela interseção do gráfico de [math]f[/math] com os planos [math]x=x_0[/math] e [math]y=y_0[/math].[br][br][br][br]Abaixo apresentamos um applet com o intuito de visualizar o plano tangente, o vetor normal a uma superfície e a reta normal. Note que o ponto é manipulável pela superfície.[br][br]