Decimos que una sucesión [math]a_n[/math] está expresada en forma telescópica cuando, para otra sucesión [math]b_n[/math], escribimos[center][math]a_n=b_{n}-b_{n+1}[/math].[/center][list][*]Por ejemplo, si reescribimos la sucesión [math]a_n:=\frac{1}{n(n+1)[/math] como [math]a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/math], está expresada en forma telescópica, tomando [math]b_n:=\frac{1}{n}[/math]. [/*][*]La sucesión de sumas parciales se denomina "serie" y, en estos casos, decimos que es una "serie telescópica".[br][list][*]La serie que hemos visto como ejemplo, es conocida como "serie de Megnoli".[/*][/list][/*][*]Tener una sucesión expresada en forma telescópica es muy cómodo a la hora de calcular la suma de la correspondiente serie, o sus sumas parciales.[/*][*]En ocasiones, es más cómodo expresar la sucesión en forma telescópica usando un "paso" o "salto" mayor en la sucesión [math]b_{n}[/math], si conseguimos una reescritura de la forma [math]a_{n}=b_{n}-b_{n+p}[/math], para cierto número natural [math]p[/math].[/*][*]Las series telescópicas hacen muy cómodo calcular las suma, pues unos términos se cancelan con otros. Por ejemplo, en el caso [math]p=1[/math], la suma total resultará [math]S=b_1[/math].[/*][*]En algunas ocasiones, podemos expresarla como telescópica "doble" si, a su vez, [math]b_n[/math] es también telescópica. En el applet podemos visualizar diferentes ejemplos. Análogamente podríamos dar una telescópica "triple", etc. [br][/*][*]En el siguiente applet veremos más detalles sobre el cálculo de estas sumas, junto con su visualización gráfica, y algunos ejercicios. [br][list][*]Al visualizar la solución, podemos elegir cuántos términos en total se mostrarán (en el cuadro "ver hasta...", en la esquina inferior derecha.[/*][*]También, podemos ver la relación con las series hipergeométricas, que se explicará detalladamente más abajo.[br][/*][/list][/*][/list]

[list][*]Pulsando el botón "Ejercicios", podremos resolver nuestros propios ejercicios de sumas de sucesiones telescópicas.[/*][*]Siempre nos preguntarán la suma total (y no de los primeros términos).[/*][*]Los ejercicios serán similares a los ejemplos vistos.[/*][*]Cada ejercicio correcto vale 2 puntos, hasta llegar a 10. Los fallos penalizan 0.5 puntos.[/*][*]Se guardará la puntuación más alta obtenida.[br][/*][*]Podemos intentar tantos ejercicios como queramos.[br][/*][/list]

[list][*]Al resolver ejercicios donde el término general es una fracción algebraica, suele ser muy útil hacer la descomposición en fracciones parciales, para observar si es sencillo expresar la sucesión como telescópica. [/*][*]Todos los ejemplos propuestos aquí pueden resolverse mediante esta técnica. Para otro tipo de sucesión, podrá ser necesaria una técnica diferente.[/*][*]En general, no es sencillo expresar una sucesión como telescópica. Aunque, teóricamente, si la serie es sumable de suma [math]S[/math], bastaría con definir[br][list][*][math]b_{1}:=S,[/math][/*][*][math]b_{2}:=b_{1}-a_{1}[/math] (de manera que [math]b_{1}-b_{2}=S-S+a_{1}=a_{1}[/math]),[/*][*][math]b_{3}:=b_{2}-a_{2}[/math] (de manera que [math]b_{2}-b_{3}=b_{2}-b_{2}+a_{2}=a_{2}[/math]),[/*][*]... y así sucesivamente, [math]b_{n}:=b_{n-1}-a_{n-1}=S-a_{1}-\ldots-a_{n-1}[/math].[/*][/list]pero esto no resultará de gran ayuda al resolver ejercicios, porque normalmente la parte complicada es precisamente calcular esas sumas parciales de [math]a_{n}[/math].[/*][/list]

Una sucesión [math]a_n[/math] se dice hipergeométrica cuando existen números [math]\alpha, \beta,\gamma[/math] tales que [math]\frac{a_{n+p}}{a_n}=\frac{\alpha n+\beta}{\alpha n+\gamma}. [/math][br]Como en el caso de las telescópicas, en los ejercicios es habitual que el "paso" sea [math]p=1[/math].[br][br]Veamos que, en ese caso, sí es sencillo escribirlas explícitamente como telescópicas. Vamos a buscar una expresión de la forma [math]a_n=b_n-b_{n+p}[/math]:[br][list=1][*]Quitando denominadores, [math]\alpha n a_n+\beta a_n=\alpha n a_{n+p} +\gamma\, a_{n+p}[/math].[/*][*]Observando la expresión, pensamos en tomar [math]b'_{n+p}:=\alpha n a_{n+p}[/math], con lo que restando y sumando [math]\alpha p a_n[/math], podemos reescribir:[br][math]\underbrace{\alpha (n-p) a_n}_{b'_n}+\alpha p a_{n}+\beta a_n=\underbrace{\alpha n a_{n+p}}_{b'_{n+p}}+\gamma\, a_{n+p}[/math].[/*][*]De manera similar al paso anterior, para que aparezcan términos de la forma [math]a_{n+p}-a_{n}[/math], restamos en cada miembro [math]\gamma\, a_{n+p}[/math].[br][math]b'_{n}+(-\gamma+\alpha p+\beta)a_n=b'_{n+p}+\gamma (a_{n+p}-a_{n})[/math][/*][*]Despejamos la expresión de [math]a_n[/math]:[br][math]a_{n}=\frac{1}{\alpha p+\beta-\gamma}\cdot\left(b'_{n+p}-b'_n+\gamma(a_{n+p}-a_{n})\right)[/math].[/*][*]Denominando [math]b_n:=b'_n+\gamma a_n=\left(\gamma+\alpha (n-p)\right)a_n[/math], habremos expresado la sucesión en forma telescópica.[br][math]a_n=\frac{b_n-b_{n+p}}{\gamma-\alpha p-\beta}[/math].[br][/*][/list]En particular, podemos obtener tanto el valor de las sumas parciales, como la suma total.[br]Por ejemplo, si [math]\gamma>\alpha p+\beta[/math], el criterio de Raabe (ver más abajo) permite comprobar que la serie es sumable y, por tanto, su suma es[center]Para [math]p=1[/math], [math]\fbox{S=\frac{\gamma\, a_1}{\gamma-\alpha -\beta}}[/math]. Para [math]p=2[/math], será [math]S=\frac{(\gamma-\alpha)a_1+\gamma\,a_2}{\gamma-2\alpha-\beta}[/math].[/center]En ocasiones, cuando es posible, resulta más cómodo interpretar las series como hipergeométricas en lugar de telescópicas, pues podemos ahorrar cálculos tales como descomposición en fracciones parciales. Por otra parte, habrá que saber hacer la transformación en serie telescópica, o bien aplicar la fórmula anterior para la suma.[br][list][*]Por ejemplo, la sucesión [math]a_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}[/math] es hipergeométrica, pues [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n\cancel{(n+1)}\bcancel{(n+2)}}{\cancel{(n+1)}\bcancel{(n+2)}(n+3)}[/math].[br]Así que [math]\alpha=1,\beta=0,\gamma=3[/math], y como [math]a_1=\frac{1}{6}[/math], la suma es [math]S=\frac{3\cdot\frac{1}{6}}{3-1-0}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}.[/math][/*][*]Igualmente, [math]a_n:=\frac{2}{n(n+2)}[/math] es hipergeométrica de paso 2, pues [math]\frac{a_{n+2}}{a_n}=\frac{n\cancel{(n+2)}}{\cancel{(n+2)}(n+4)}[/math]. Así que [math]\alpha=1,\beta=0,\gamma=4[/math], y como [math]a_1=\frac{2}{3},a_2=\frac{1}{4}[/math], la suma es [math]S=\frac{3\cdot \frac{2}{3}+4\cdot \frac{1}{4}}{4-2-0}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}[/math].[br][/*][/list](*) Notar que hay sucesiones telescópicas, como [math]a_n:=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}[/math] que no son hipergeométricas.

Hemos utilizado el criterio de Raabe en su forma:[br]Si, para una sucesión de términos positivos [math]a_n[/math], dado [math]p\in\mathbb N[/math] existe [center][math]\fbox{L=\lim_{n\mapsto\infty}n\left(1-\frac{a_{n+p}}{a_n}\right)}[/math], la serie converge si [math]L > p[/math].[/center][br]Demostración:[br]Tomando [math]0<\epsilon < L-p[/math]. Entonces, para [math]n[/math] suficientemente grande, despejando en la condición del enunciado, [center][math]\frac{a_{n+p}}{a_n}<1-\frac{L-\epsilon}{n}=\frac{n-(L-\epsilon)}{n}[/math].[/center][br]Como [math]L-\epsilon>p[/math], podemos tomar [math]k>1[/math], tal que [math]\frac{n-(L-\epsilon)}{n}<\left(\frac{n-p}{n}\right)^k[/math]. Además, [math]\sum\frac{1}{n^{k}}[/math] será convergente.[br][br]Tomando [math]n[/math] suficientemente grande, podemos fijar ciertos [math]a_{C+1},\ldots,a_{C+p}[/math], que utilicemos para comparar con las series convergentes de término general [math]\frac{a_{C+i}}{n^k}[/math], pues[br][br][math]a_{n+p}\leq\left(\frac{n-p}{n}\right)^ka_n\leq\left(\frac{n-2p}{n}\right)^ka_{n-p}\leq\ldots\leq\left(\frac{C+i-p}{n}\right)^ka_{C+i}[/math], para algún [math]1\leq i \leq p[/math] (según corresponda al hacer las restas).[br][br]En cualquier caso, todos los términos están mayorados por los términos de una cantidad finita de series convergentes, con lo que la serie es convergente.

En el caso de las [b]series hipergeométricas[/b] de paso [math]p[/math], aplicamos el criterio calculando[center][math]\lim_{n\mapsto\infty}n\left(1-\frac{a_{n+p}}{a_n}\right)=\lim_{n\mapsto\infty}n\left(1-\frac{\alpha n+ \beta}{\alpha n+\gamma}\right)[/math][/center][center][math]=\lim_{n\mapsto\infty}n\cdot\frac{\gamma-\beta}{\alpha\,n+\gamma}=\frac{\gamma-\beta}{\alpha}[/math].[/center]Luego el límite será mayor que [math]p[/math] cuando [math]\gamma-\beta > \alpha p[/math], que podemos expresar también como[center][math]\gamma-\alpha p-\beta>0[/math].[/center]

[list][*][size=85][url=https://www.ciem.unican.es/matesgg-matematicas-con-geogebra/]Personajes[/url], pertenecientes al [url=https://intef.es/recursos-educativos/recursos-para-el-aprendizaje-en-linea/matesgg/]proyecto MatesGG[/url] (licencia CC BY-SA).[/size][/*][*][size=85][url=https://math.stackexchange.com/questions/631348/proof-of-raabes-test]Algunas demostraciones[/url] del criterio de Raabe.[br][/size][/*][/list]