[math][/math]Se tiene la ecuación de un plano Ax+By+Cz=d, cuando "d" sea cero, esto quiere decir que ese plano pasa por el origen y puede escribirse como Ax+By+Cz=0.[br]Para encontrar la ecuación de un plano paralelo a Ax+By+Cz=0 cuando se tiene un punto Q=(x1, y1, z1), tenemos que sustituir x, y, z en la ecuación.[br][math]A\left(x_1\right)+B\left(y_1\right)+C\left(z_1\right)=d_1[/math][br]Cuando se realiza la operación podemos obtener el nuevo "d" para la ecuación del plano paralelo al primero y podemos escribir la ecuación del mismo.[br][math]Ax_1+By_1+Cz_1=d_1[/math][br]Ejemplo:[br]Sea P dado por 8x − 6y + 7z =  −12. Encontrar la ecuación del plano que es paralelo a P y que pasa por:[br](a)El origen  (b) Q = (1, -2, 3)[br]SOLUCION:[br]Como cualquier plano tiene un punto que pasa por el origen, podemos decir que d seria igual a 0.[br]Igualando la ecuación del plano a 0:[br][math]\text{ 8x − 6y + 7z = 0}[/math][br]Sustituyendo las coordenadas dadas con x, y, z:[br][math]\text{ d=8x − 6y + 7z }[/math][br][math]\text{ d=8(1) − 6(-2) + 7(3) = 8+12+21 = 41 }[/math][br]Ya que se obtuvo el valor "d" para el plano paralelo al primero, lo sustituimos en el "d" de la ecuación y tenemos la ecuación del nuevo plano.[br][math]\text{ 8x − 6y + 7z = 41}[/math]

Podemos notar como un plano tiene una infinidad de planos paralelos y estos varían conforme el valor de un punto en ellos, el cual nos puede ayudar a definir el valor "d" en cada ecuación de cada plano paralelo.

Tenemos dos ecuaciones de los planos perpendiculares, sea [math]A_1x+B_1y+C_1z=d_1[/math] y [math]A_2x+B_2y+C_2z=d_2[/math], [br]también contamos con un punto [math]Q=\left(x,y,z\right)[/math], para poder encontrar el plano que pasa por el punto Q y es perpendicular a los otros dos planos, es necesario conocer otros dos puntos derivados de las ecuaciones de los planos conocidos. [br][math]R=\left(A_{1,}B_1,C_1\right)[/math] y [math]S=\left(A_2,B_2,C_2\right)[/math][br]Consideramos a R y S como vectores normales y podemos, siempre que R y S no sean combinación lineal para asegurar que son perpendiculares.[br] [math]n_1=\left(A_{1,}B_1,C_1\right)[/math] y [math]n_2=\left(A_2,B_2,C_2\right)[/math][br]Posteriormente realizamos un producto vectorial para poder encontrar la ecuación del plano perpendicular.[br][br]

Finalmente encontramos la ecuación del tercer plano, usamos la formula general del plano [math]a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0[/math] ya que [math]n_3=\left(E,F,G\right)=\left(a,b,c\right)[/math] y [math]Q=\left(x,y,z\right)=\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math].

Como paso final, se multiplica toda la ecuación por (-1) y se divide entre 2.[br]EJEMPLO:

Podemos observar que solo existen ciertos puntos en el espacio para que se encuentre el tercer plano, como en este caso donde se considera a P=(3,-1,0)