[size=85][url=https://www.logisztika.bme.hu/hu/tanszekrol/alrt-munkatarsak.html]Csóti Beáta[/url] tanárnőtől [url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Szilassi Lajos[/url] tanár úr közvetítésével jutott el hozzám a következő probléma:[br][/size][size=85]Egy háromszög oldalainak hossza 4, 5. 6 egység. Milyen hosszú a leghosszabb oldallal szemközti csúcsra illeszkedő belső szögfelező szakasz?[br][/size][size=85]A válaszom az volt, hogy a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Koszinuszt%C3%A9tel]koszinusztétel[/url] és a [url=https://matekarcok.hu/szogfelezo-tetel/]szögfelező tétel[/url] alkalmazásával megmutatható [/size][size=85]([url=https://www.geogebra.org/m/apmwcmtx]https://www.geogebra.org/m/apmwcmtx[/url]), hogy[br][math]f_{\gamma}^2=\frac{ab\left\langle a+b-c\right\rangle\left\langle a+b+c\right\rangle}{\left\langle a+b\right\rangle^2}[/math][/size] [size=85](1)[/size].[br][size=85]Kiderült, hogy a feladatot tizedik osztályosoknak tűzték ki, így a [url=https://matekarcok.hu/koszinusztetel/]koszinusztétel[/url] nem alkalmazható[/size][size=85]. És egy érdekesség is megállapítható:[/size]

[size=85]Úgy tűnik, hogy - a fenti fájl jelöléseit használva - a [math]DBC_{\Delta}[/math][/size] [size=85]egyenlőszárú.[br][/size][size=85]Ez az eredmény sejteti, hogy léteznie kell egy elemi geometriai megoldásnak, de ezt - egyelőre - nem találtuk.[br][/size][size=85]Egy tizedikesektől elvárható megoldás azért van. Ennek lényege, hogy az (1) összefüggést koszinusztétel helyett Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk meg:[/size]

[size=85]A fenti számolást az alábbi GeoGebra CAS fájl végzi el.[/size]

[size=85]Érdekes kérdés, hogy mikor egyenlőszárú a [/size][img]data:image/png;base64,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[/img]. [size=85]Ezt vizsgálja a következő GeoGebra CAS fájl, ami a korábbi jelöléseket használja.[/size]

[size=85]A kiinduló problémában szereplő háromszög oldalai eleget tesznek az itt kapott feltételnek.[/size]