[br][list=1][*]az egyenest [i]n [/i]pontja;[/*][*]a síkot [i]n[/i] egyenese;[/*][*]a teret [i]n [/i]síkja;[/*][*]a [i]k[/i]-dimenziós teret [i]n[/i] darab  [i]k[/i]-1 dimenziós hitpersíkja ("Elvetemült geométereknek").[/*][/list][right]([url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Dr. Szilassi Lajos[/url] javaslatára)[/right][right][/right]

[size=85][code][/code]Tétel: az egyenest [i]n[/i] pontja [i]n [/i]+ 1 részre ([i]n[/i] -1 szakasz és két félegyenes) osztja. ezt így jelöljük:[br][justify][math]R_1\left(n\right)=n+1[/math]. (Az [i]R[/i] alsó indexe a dimenziószámra utal.)[br]A tétel elég nyilvánvaló, aki akar, az gondolkodjon el a bizonyításon![br][br][/justify][/size]

[size=85]Maximális számú síkrész akkor jön létre, ha az egyenesek között nincsenek párhuzamosak, különböző pontokban metszik egymást.[/size][br][size=85]A fenti GeoGebra fájl alapján a keletkezett síkrészek száma:[/size]

[size=85]Ismerősök ezek a számok?[br][/size][size=85]Egészítsük ki a fenti táblázatot a[url=https://www.geogebra.org/m/mqmpckm8] háromszögszámok[/url] sorával![/size]

[size=85]ezek alapján már adódik: [math]R_2\left(n\right)=\frac{n\left\langle n+1\right\rangle}{2}+1[/math][/size].

[size=85]például [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Teljes_indukci%C3%B3]teljes indukció[/url]val (is) történhet.[br][/size][size=85][i]n[/i][/size][size=85]= 1-re igaz az állatás.[br][/size][size=85]Tegyük fel, hogy adott a síkon [i]n[/i] páronként nem párhuzamos egyenes, amelyek különböző pontokban metszik egymást, és [/size][img]data:image/png;base64,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[/img][size=85]részre ontják a síkot. Egy ([i]n[/i] + 1). egyenes egyikükkel sem párhuzamos és nem megy át a korábbiak egyik metszéspontján sem. Ezt az egyenest a korábbiak különböző pontokban metszik, és - a korábbiak szerint [/size][img]data:image/png;base64,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[/img] [size=85]részre bontják. Minden így kapott egyenes rész két részre bont egy korábbi síkrészt. Ezek szerint:[br][/size][math]R_2\left\langle n+1\right\rangle=R_2\left\langle n\right\rangle+R_1\left\langle n\right\rangle[/math][br][size=85]Felhasználva az indukciós feltételt és a korábbiakat,[br][math]R_2\left\langle n+1\right\rangle=\frac{n\left\langle n+1\right\rangle}{2}+1+n+1=\left\langle n+1\right\rangle\left\langle\frac{n}{2}+1\right\rangle+1=\frac{\left\langle n+1\right\rangle\left\langle n+2\right\rangle}{2}+1[/math][br][/size][size=85]Az állítást bebizonyítottuk.[/size]

[size=85]Akkor osztja maximális számú részre a teret [i]n[/i] sík, ha nincsenek közöttük párhuzamosak, különböző egyenesekben metszik egymást. és e metszésvonalak is különböző pontokban metszik egymást. Legyen adott [i]n[/i] ilyen sík! Vegyünk hozzá egy ([i]n[/i] + 1). síkot úgy hogy a korábbiakat a korábbiaktól különböző egyenesekben messe, és ne menjen át a korábbi metszésvonalak metszéspontjain! Ezt a síkot a korábbi síkok [i]n [/i]egyenesben metszik, és a korábbiak szerint azt [math]R_2\left\langle n\right\rangle[/math] részre osztják. Minden ilyen síkrész két részre oszt egy korábban már meglevő síkrészt. Ezek szerint igaz a következő rekurzió:[/size][size=85][br][math]R_3\left\langle n+1\right\rangle=R_3\left\langle n\right\rangle+R_2\left\langle n\right\rangle[/math][/size].[br][size=85]Nyilvánvaló, hogy [math]R_3\left\langle1\right\rangle=2[/math]. Ennek és a korábbiaknak felhasználásával kapjuk, hogy[/size][br]

[size=85]Egy jó sejtés kéne. Ennek megtalálásában segíthet a GeoGebra görbeillesztési funkciója:[/size]

[size=85]Csak nem igaz az, hogy:[br][math]R_3\left\langle n\right\rangle=\frac{n^3+5n+6}{6}[/math][/size][math]=\frac{\left\langle n+1\right\rangle\left\langle n^2-n+6\right\rangle}{6}[/math]?[br][size=85]A bizonyítást az olvasóra bízzuk.[/size]

[size=85]"Elvetemült geométer" nem lévén, a korábbiak alapján csak egy rekurzió felvetését kockáztatjuk meg:[br][math]R_{k+1}\left\langle n+1\right\rangle=R_{k+1}\left\langle n\right\rangle+R_k\left(n\right)[/math][/size]. (1)

[size=85]Ha ezt a rekurziót helyesnek fogadjuk el, akkor a következőkre jutunk:[/size]

[size=85]A sejtés megtalálásához megint illesszünk görbét![/size]

[size=85][math]R_4\left\langle n\right\rangle=\frac{n^4-2n^3+11n^2+14n+24}{24}[/math][/size]

[size=85]vizsgáljuk a következő sorozatot![br][math]N_k\left\langle n\right\rangle=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{k}[/math][/size],[size=85] ha[/size] [math]n\ge k[/math].

[math]R_k\left\langle n\right\rangle=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{k}[/math], [size=85]ha[/size] [math]n\ge k.[/math][br][br][size=85]A bizonyítás - bizonyára - történhet az (1) rekurzió felhasználásával. [br][br][/size][size=100][size=150]És még egy kérdés [url=https://www.math.u-szeged.hu/~nemeth/]Dr. Németh Zoltán[/url] tanár úrtól:[/size][/size][br][br][size=85]Az [math]R_k\left\langle n\right\rangle[/math][/size] [size=85]rész között hány korlátos van?[/size]

[list=1][*][size=85][/size][size=85][url=http://www.math.ubbcluj.ro/~andrasz/CD/INDUKCIO/III%20fejezet.pdf]http://www.math.ubbcluj.ro/~andrasz/CD/INDUKCIO/III%20fejezet.pdf[/url][/size][url=http://www.math.ubbcluj.ro/~andrasz/CD/INDUKCIO/III%20fejezet.pdf][/url][/*][*][size=85]Pólya György: Indukció és analógia (Gondolat kiadó 1988. 60. oldal)[/size][/*][/list]