[color=#0000ff][b][b][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/b][br]・時刻[time,instance,moment][/b][/color]ｔに対する点の[color=#0000ff][b]位置,変位[position、displacement]をf(t)[/b][/color]とするとき、[br]時刻ｔでの点の[color=#0000ff][b]速度[velocity]v=f'(t)[/b][/color]で求められる。[br]時刻ｔでの点の[color=#0000ff][b]加速度[acceleration]a=f''(t)[/b][/color]で求められる。[br]たとえば、点の位置をy=sin(kt)としてみよう。[br]速度v=f'(t)=cos(kt)・kとなるね。[br]また、加速度a=-k[sup]2[/sup]sin(kt)=-k[sup]2[/sup]y。[br]これは、kt=θとしてみると、(x,y)=(cosθ、sinθ）という単位円周上の点の動きを、[br]ｙ軸だけに投影した運動になるね。[br]加速度a=-k[sup]2[/sup]yから、加速度は原点からの距離ｙに比例したサイズで逆向きに働いているのがわかるね。[br]これはよく[color=#0000ff][b]単振動[Simple harmonic motion][/b][/color]と呼ばれている。バネの上下振動のような動きだ。[br][br]・では、次にｘ軸も入れて、単位円周上の動点P(x,y)の動きをベクトルとしてとらえてみよう。[br]ｋを正定数とする。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br] 位置ベクトル[b]p [/b]=(x,y)=(cosθ, sinθ)=(cos(kt), sin(kt))=(g(t), f(t))としよう。|[b]p[/b]|=1[br] x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=1 y/x=sin(kt)/cos(kt)=tan(kt)[br] 速度ベクトル[b]v[/b] =(g'(t),f'(t))=(-k・sin(kt), k・cos(kt) ) |[b]v[/b]|=|k|[br] dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)= k・cos(kt) /(-k・sin(kt))=-1/tan(kt)　これは位置ベクトルと直交してるね。[br] 加速度ベクトル[b]a[/b] =(g''(t),f''(t))=(-k[sup]2[/sup]cos(kt), -k[sup]2[/sup]・sin(kt))=-k[sup]2[/sup](x,y) |[b]a[/b]|=|k[sup]2[/sup]| [br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「(x,y)=(pt[sup]2[/sup],2pt)ｐが正定数とするときの、速度、加速度のベクトル」は？[br]　x=pt[sup]2[/sup]にt=y/2pを代入すると、ｘ＝p(y/2p)[sup]2[/sup]=y[sup]2[/sup]/4p.だから、頂点が原点の放物線。[br]　しかも、t=0のとき原点にある。tが負のときｙが負、ｔが正でｙが正。ｘはつねに正。[br] [b]v[/b]=(2pt, 2p) 原点から離れるほどスピードアップするね。ただし、ｙ軸方法は等速運動。[br] [b]a[/b]=(2p,0)。ｘ方向の加速度は一定２p、ｙ軸方向は０。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「(x,y)=(vcosθ・t, vsinθ・t-1/2gt[sup]2[/sup])ｇが重力加速度とするときの、速度、加速度のベクトル」は？[br]　[b]v[/b]=(vcosθ, vsinθ-gt)、[b]a[/b]=(0, -g)　ｘ軸は等速度運動、ｙ軸が重力加速度の斜め投げ上げ。[br]　ｖy=0になるのは、vsinθ=gt。t=vsinθ/g＝tTopのときｙ軸方向の速さが０になる。[br]　ｙ＝０になるのは、ｔ=0か、１/2gt=vsinθとなる、ｔ＝2vsinsθ/g=tTOpの２倍。[br][b][size=150][color=#999999][br][/color][/size][/b]

[size=150][b]＜極限値の利用＞[br][/b][size=100]ｘ→０のときの極限値を利用しよう。[br]sinx/x→1、tanx/x→1、[b][color=#0000ff][size=150]ln(１＋ｘ）/ｘ→１、(e[sup]x[/sup]-1)/x→１[br][/size][/color][/b]だから、[br][color=#0000ff][b]ｘ＝０に近い数値の関数値を求めたいとき[br]sinx、tanx、log(1+x)をxとして、e[sup]x[/sup]=1+ｘとして、[br][/b][/color]数値計算することもあるね。[br][/size][b][br]＜導関数＞[/b][/size][br]微分係数の定義式を変形して近似式にしてみよう。[br]h→0のとき、(f(a+h)-f(a))/h→f'(a)[br]ｈがゼロでなくて、ゼロに近いと近似式ができるね。[br]これをｆ(a+h）について解くと、[br][color=#0000ff][b][size=150]f(a+h)≒f(a)+hf'(a)[/size][/b][/color]になる。[br]aを０にして、ｈをｘに置き換えると[br]ｘがゼロでなくて、ゼロに近いと近似式ができる。[br][b][size=150][color=#0000ff]f(x)[b][size=150]≒[/size][/b]f(0)+xf’(0)[br][/color][/size][/b]これは、ｘ＝０での接線で曲線を近似した式だね。[br]ということは、ｘ＝aでも接線を引けるから[br][color=#0000ff][b][size=150]f(x)=f'(a)(x-a)+f(a)と近似直線[/size][/b][/color]の式ができる。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「log(0.999e）の近似値」は？[br]f(x)=logxとするときのｘ＝eでの接線の方程式を求めよう。[br]f'(x)=1/x, f(e)=loge=1だから、f(x)=f'(e)(x-e)+f(e)=(x-e)/e+f(e)。[br]ということは、x=0.999eを入れると、[br]log(0.999e)≒(0.999e-e)/e+1=-0.001+1=0.999[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「xが０とπ/2のときのtanx=1.001の近似値」は？[br]f(x)=tanxとするとき、x=π/4での接線の方程式を求めよう。[br]f'(x)=1/cos[sup]2[/sup]x, f(π/4)=1だから、f(x)=f'(π/4)(x-π/4)+f(π/4)=2(x-π/4)+1=1.001。[br]これを逆算すると、2(x-π/4)=0.001より、x=π/4+0.0005。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]hが０に近いとき[br]sin(a+h)=sin(a)+hsin'(h)=sin(a)+hcos(a)。[br]たとえば、1°=2π/360=π/180から、sin(29)°の近似値を求めてみよう。[br]sin(29°)=sin(30°)+(-1°)・cos(30°)=1/2+(-3.14/180)・1.732/2≒0.485[br][br][b][size=150]＜マクローリン級展開＞[br][/size][/b]ｘ＝０中心の近似式[br][b][size=150]e[sup]x[/sup]=1 +x +x[sup]2[/sup]/[sub]2! [/sub]+x[sup]3[/sup]/[sub]3! [/sub]+....... +x[sup]n[/sup]/[sub]n![/sub][/size][sub][/sub][/b]+.......[br][b]sinx= x　-x[sup]3[/sup]/[sub]3!　[/sub]+x[sup]5[/sup]/[sub]5!　[/sub]-x[sup]7[/sup]/[sub]7![/sub][/b]+...........+[color=#0000ff][b][size=150](-1)[sup](n-1)[/sup]x[sup](2n-1)[/sup]/[sub](2n-1)![/sub][/size][sub][/sub][/b][/color]+......[br][b]cosx= 1　-x[sup]2[/sup]/[sub]2!　[/sub]+x[sup]4[/sup]/[sub]4!　[/sub]-x[sup]6[/sup]/[sub]6![/sub][/b]+...........+[color=#0000ff][b][size=150](-1)[sup]n[/sup]x[sup](2n)[/sup]/[sub](2n)![/sub][/size][sub][/sub][/b][/color]+......[br][b]log(1+x)= x　-x[sup]2[/sup]/2[sub]　[/sub]+x[sup]3[/sup]/3[sub]　[/sub]-x[sup]4[/sup]/4[/b]+...........[color=#0000ff][b][size=150]+(-1)[sup](n-1)[/sup]x[sup]n[/sup]/n[/size][/b][/color]+......[br]