Se trazan aleatoriamente dos cuerdas AB y CD en una circunferencia. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cuerdas se corten?

Se puede fijar sin restricciones la posición del punto A. Sea x = ∠AOB, y =∠AOC y z = ∠AOD, contados todos positivamente. Para que las cuerdas se corten debe estar C en el arco AB y D en el BA o viceversa. para calcular la probabilidad se puede proceder al menos de tres formas:[br][list][*]Promediar la probabilidad para 0 < x < 2π de que C y D estén a en diferentes lados de AB:  [math]P=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}2\frac{x}{2\pi}\frac{2\pi-x}{2\pi}dx=\frac{1}{3}[/math][/*][/list][list][*]Dividir el volumen de la región favorable, dos pirámides altura 2π y base [math]\frac{1}{2}\left(2\pi\right)^2[/math], p[code][/code]or el volumen del espacio muestral, (2π)³, con el mismo resultado.[/*][*]La más directa: considerar que para cualquier disposición de los 4 puntos A, B, C y D hay tres formas de unirlos con dos cuerdas, en una sola de las cuales se cortan.[/*][/list]