[quote]Die Nullstellen einer Funktion sind die Punkte, an denen der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An diesen Punkten ist [math]f\left(x\right)=0[/math]. wir setzen also die Funktionsgleichung "gleich null" und lösen nach [math]x[/math] auf. Für verschiedene Funktionsgleichungen gibt es verschiedene Lösungsverfahren. In dieser Aufgabe berechnen wir die Nullstellen [b]mit dem Satz vom Nullprodukt[/b]: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor gleich null ist.[br][br]Man erhält eine Gleichung der Form [math]ax^2+bx=0[/math] (das heißt: [math]c=0[/math]):[br][list][*][math]x[/math] ausklammern[/*][*][b]Satz vom Nullprodukt[/b] anwenden, um in jedem Faktor die Lösung für [math]x[/math] einzeln zu bestimmen.[/*][/list][br]Die [b]Anzahl der Lösungen[/b] hängt von dem Term unter der Wurzel ab. Dieser Term heißt [b]Diskriminante[/b] und wird mit [math]D[/math] bezeichnet. Es gilt:[br][list][*][math]D>0[/math]: [math]f[/math] hat [b]zwei [/b]Nullstellen[/*][*][math]D=0[/math]: [math]f[/math] hat [b]eine [/b](doppelte) Nullstelle[/*][*][math]D<0[/math]:[math]f[/math] hat [b]keine [/b]Nullstelle[br][/*][/list][/quote]

Die obigen Erklärungen für die Parabel können ohne weiteres auf ganzrationale Funktionen übertragen werden (immerhin ist die Parabel eine [i]ganzrationale Funktion mit Grad 2[/i]). Auch hier gilt: Erst ausklammern, dann die einzelnen Faktoren gleich 0 setzen:[br][br]Beispiel[br]Aufgabe: Sei [math]f\left(x\right)=x^3-4x[/math]. Gib die Nullstellen der Funktion an.[br]Lösung: [math]0=x^3-4x[/math]   [math]x[/math] ausklammern[br][math]0=x\cdot\left(x^2-4\right)[/math]    Satz vom Nullprodukt[br][math]x=0[/math] oder [math]x^2-4=0[/math][br][br]Daraus folgen die Nullstellen [math]x=0,x=2,x=-2[/math].[br][br][br]Beispiel 2[br]Aufgabe: Sei [math]f\left(x\right)=2x^4+4x^3-10x^2[/math]. Gib die Nullstellen der Funktion an.[br]Lösung: Beachte, dass nicht immer nur [math]x[/math] ausgeklammert wird. Stattdessen klammert man die höchstmögliche Potenz aus, in diesem Fall [math]x^2[/math]. Zusätzlich kann man, sofern passend, noch einen Koeffizienten ausklammern. In diesem Fall kann [math]2x^2[/math] ausgeklammert werden:[br][math]0=2x^4+4x^3-10x^2[/math]   Ausklammern[br][math]0=2x^2\cdot\left(x^2+4x-10\right)[/math]  Satz vom Nullprodukt[br][math]2x^2=0[/math] oder [math]x^2+4x-10=0[/math].[br]Dies kann nun wieder mit bekannten Verfahren (wie der pq-Formel) gelöst werden.

Da die pq-Formel von höchster Wichtigkeit in der gesamten Oberstufe ist, folgt nun ein Blatt zum Üben dieser.