Im Folgenden betrachten wir eine neue Art von Funktionen. Diese ähneln dem quadratischen Teil einer quadratischen Funktion.[br][br]So werden Funktionen der Form [math]f\left(x\right)=x^3[/math][b] Potenzfunktionen dritten Grades[/b] genannt.[br][br]Neben den Potenzfunktionen dritten Grades gibt es auch Potenzfunktionen höheren Grades. So wird die Funktion [math]f\left(x\right)=x^4[/math] als [b]Potenzfunktion vierten Grades[/b] bezeichnet.[br][br]In gleicher Weise gibt es auch Potenzfunktionen 5., 6., 7. usw. Grades.[br][br][b]Der Grad einer Potenzfunktion ist über den Exponenten definiert.[br][/b][i]Allgemein gilt:[br]Funktionen [math]f\left(x\right)[/math] mit Funktionsgleichungen [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] der Form heißen [b]Potenzfunktionen n-ten Grades [/b]([math]n\in\mathbb{N},a\in\mathbb{R}[/math]).[br][/i]
Was gilt für alle Potenzfunktionen mit geraden Potenzen (n[math]\ne[/math]0)? Verändere die Funktion durch Ziehen des Schiebereglers. Welche Aussagen sind richtig?
Was gilt für Potenzfunktionen mit ungeraden Potenzen (n[math]\ne[/math]1)? Verändere die Funktion durch Ziehen des Schiebereglers. Welche Aussagen sind richtig?
Für n=1 ergibt sich ein Spezialfall. Wie nennt man diese Funktion?
Es entsteht eine lineare Funktion.
Für n=0 ergibt sich ein Spezialfall. Wie nennt man diese Funktion?
Es handelt sich um eine konstante Funktion. In diesem Fall sogar um die x-Achse.
Diese Funktionen werden auch (gebrochen) rationale Funktionen genannt, weil sie von der Form [math]f\left(x\right)=\frac{a}{x^n}[/math] sind. Der negative Exponent wird zum Bruch.[br]Die entstehenden Bilden nennt man Hyperbeln. Es gibt gerade und ungerade. Unabhängig von a haben alle geraden und alle ungeraden Hyperln Gemeinsamkeiten. Welche sind das?
Eine Hyperbel hat immer zwei Äste. Die Polstelle wird auch Unendlichkeitsstelle genannt. Alle rationale Funktionen dieser Form haben 0 als Polstelle, weil ich nicht durch 0 dividieren darf.[br][br]Welche Aussagen sind richtig?