[br]Gegeben ist ein Dreieck ABC.

[br]Es wird die Höhenlinie h[sub]C[/sub] durch C im Dreieck ABC eingezeichnet.

[br]Es wird die Gerade g[sub]BC[/sub] eingezeichnet, die durch A verläuft und parallel zur gegenüberliegenden Dreieckseite BC ist.

[br][br]Es wird die Gerade g[sub]AC[/sub] eingezeichnet, die durch B verläuft und parallel zur gegenüberliegenden Dreieckseite AC ist.

[br][br]Es wird die Gerade g[sub]AB[/sub] eingezeichnet, die durch C verläuft und parallel zur gegenüberliegenden Dreieckseite AB ist.

[br]h[sub]C[/sub] steht senkrecht auf AB, weil es die Höhelinie durch C im Dreieck ABC ist.

[br]Es werden die beiden Schnittpunkte C[sub]1[/sub] und C[sub]2 [/sub]der durch C verlaufenden neuen Geraden mit den beiden anderen neuen Geraden eingezeichnet. [br][br]Die Strecke zwischen ihnen liegt auf g[sub]AB[/sub] war als parallel zu AB konstruiert, also ist auch die Strecke C[sub]1[/sub]C[sub]2 [/sub]parallel zu AB.

[br]Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Strecke steht und diese Strecke parallel zu einer anderen Strecke ist, dann steht die Gerade auch senkrecht auf der zweiten Strecke.

[br]Die Strecke C[sub]1[/sub]C liegt auf g[sub]AB[/sub] und ist dadurch parallel zu AB.[br]Die Strecke C[sub]1[/sub]A liegt auf g[sub]BC[/sub] und ist dadurch parallel zu BC.

[br]In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten immer gleich lang.

[br]Die Strecke C[sub]2[/sub]C liegt auf g[sub]AB[/sub] und ist dadurch parallel zu AB.[br]Die Strecke C[sub]2[/sub]B liegt auf g[sub]AC[/sub] und ist dadurch parallel zu AC.

[br]In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten immer gleich lang.

[br]Sowohl C[sub]1[/sub]C als auch C[sub]2[/sub]C ist so lang wie AB. Also sind sie gleich lang.

[br]Die Mittelsenkrechte auf C[sub]1[/sub]C[sub]2[/sub] ist dadurch charakterisiert, dass alle Punkte auf ihr denselben Abstand zu C[sub]1 [/sub]wie zu C[sub]2 [/sub]haben. Das ist hier der Fall, denn dies gilt nach (**) für C und wegen (*) damit dann auch für alle Punkte auf h[sub]C[/sub].[br]

[br]Genau so, wie man bislang argumentiert hat, kann man auch (mit vertauschten Rollen) für die anderen Höhenlinien argumentieren.

[br]Wenn die Höhenlinien des kleinen Dreiecks gleichzeitig Mittelsenkrechten im großen Dreieck sind und man weiß, dass sich Mittelsenkrechten von Dreiecken schneiden, dann schneiden sich die Geraden auch als Höhen des kleinen Dreiecks.