En aquest applet es mostra la construcció que permet trobar el conjunt de segments que surten dels vèrtexs d'un triangle qualsevol de manera que la suma de les seves longituds sigui mínima. Coincidirà per tant amb la configuració més estable possible que sortirà en posar-hi làmines de sabó.[br][br]Aquests segments estan indicats en blau. En vermell hi ha una cofiguració diferent. Movent els punts vermells es pot comprovar com la suma de longituds dels segments vermells sempre serà superior a la mínima, definida pels segments blaus.[br][br][list][*]Mou els punts blaus per definir el triangle.[/*][*]Mou els punts vermells per trobar diferents longituds dins el triangle.[/*][/list][br]

Aquest applet, però, no contempla totes les possibilitats.[br][br]Hi ha casos (problema d'Steiner) en que la configuració dels segments per a trobar la mínima distància que uneix els quatre punts serà diferent.[br][br]Guaita el següent applet:

Es pot comprovar movent els vèrtexs del triangle que quan l'angle verd és superior o igual a 120º la distància mínima ve marcada pels segments vermells.

[b]CONSTRUCCIÓ:[/b][br][list=1][*]Es traça un triangle equilàter en un dels costats del triangle.[/*][*]Es traça la circumferència que circumscriu el triangle.[/*][*]Es traça el segment que uneix el vèrtex del triangle equilàter amb el vèrtex oposat al costat.[/*][*]La intersecció d'aquest segment i la circumferència defineix el punt de Fermat.[/*][/list][br][b]DEMOSTRACIÓ:[/b][br][list=1][*]Definint un punt qualsevol dins el triangle tracem els segments blau, verd i vermell.[/*][*]Fem un gir del segment blau i vermell de 60º respecte el vèrtex del triangle que també és extrem del segment blau.[/*][*]Formem el triangle equilàter blau.[/*][*]Es pot comprovar que la suma de tots tres segments coincideix amb la longitud de la poligonal que va del punt V al vèrtex oposat al costat del triangle original. Així doncs la mínima longitud d'aquesta serà pel segment recte que les uneix.[/*][*]Si movem el punt blau de manera que la poligonal se sobreposi a la recta negra (que defineix la mínima distància), deduïm que l'angle vermell, pel fet de ser suplementari a una angle d'un triangle equilàter, ha de ser de 120º. Aquest, però, coincideix amb el groc pel gir aplicat en el punt 2. d'aquesta demostració.[/*][*]Essent aquests angles de 120º, els punts de Fermat hauran d'estar sobre les circumferències que inscriuen els triangles, doncs aquestes defineixen l'arc capaç de 120º sobre el segment del quadrilàter.[/*][/list]En la demostració queda el dubte de si tots els angles en el punt de Fermat són de 120º. Això es fa en el següents applets:

[b]La bisectriu d'un angle definit per un arc capaç:[/b][br][br]En la següent figura tenim definit un arc capaç d'un angle (indicat en verd).[br][br]S'ha traçat la bisectriu [code][/code]d'aquest angle (en gris).[br][br]Si es mou el punt blau es pot comprovar com la bisectriu sempre passa pel mateix punt. Aquest punt és el punt central de l'arc oposat a l'arc capaç de l'angle.[br][br]Movent els punts roses es pot comprovar com passa el mateix sigui quin sigui l'arc capaç definit.

[b]Demostrem per què:[/b]

Els dos angles vermells han de ser iguals, doncs estan damunt un mateix arc capaç definit pel segment vermell. De forma equivalent han de ser iguals els angles verds.[br][br]Però els angles vermell i verd també han de ser iguals pel fet d'estar a banda i banda de la bisectriu. Per tant el triangle format pels segments verd i vermell és isòsceles, per tant el punt negre ha de ser el central de l'arc.

Això ens permet demostrar que tots els angles al voltant dels punts de Fermat han de ser de 120º:[br][br]Recuperem el primer applet. Els punts dels triangles equilàters són precisament els punts centrals de l'arc capaç oposat al de 120º. Per tant el segment que els uneix en serà la bisectriu. Això comporta que els altres dos angles han de ser iguals i, per tant, seran també de 120º.[b][br][/b]