Probabilidad: simulaciones y problemas

Manuel Sada, Aug 7, 2017

Simulaciones de lanzamientos y extracciones, tratamiento estadístico de los resultados, ejemplos de funcionamiento de la Ley de los grandes números y problemas clásicos de Probabilidad. Gracias a las buenas ideas y la ayuda del gran profesor Santiago Fernández Fernández, con quien tanto hemos aprendido muchos y muchas.

Table of Contents

  1. Simulaciones de lanzamientos y extracciones
    1. Lanzamiento de un dado: simulación y recuento de resultados
    2. Lanzamiento de dos dados: simulación y recuento de resultados
    3. Lanzamiento de dos monedas: simulación y recuento de resultados
    4. Lanzamiento de tres monedas: simulación y recuento de resultados
    5. Lanzamiento de cuatro monedas: simulación y recuento de resultados
    6. Sacando cartas de una baraja
    7. Tablas de números aleatorios
    8. La Lotería de Navidad
  2. Ley de los grandes números
    1. Ley de los grandes números en el lanzamiento de un dado
    2. Ley de los grandes números en el lanzamiento de dos dados
  3. Problemas de Probabilidad
    1. Galileo y los tres dados
    2. El problema de los cumpleaños
    3. El tragasuertes (Chuck a Luck)
    4. El problema de los dados del caballero De Méré
    5. El problema de las abejas y las dos estancias
    6. El problema de los sombreros de Euler (y el problema de la Rencontré)
    7. El problema de los patos
    8. La Ruina del Jugador
    9. Paseos aleatorios por el plano
    10. Paseos aleatorios por el espacio
    11. El concurso de Monty Hall
    12. Los seis resultados de un dado
    13. El problema del coleccionista de cupones
  4. Problemas de Probabilidad Geométrica
    1. La aguja de Buffon
    2. La moneda "de Buffon"
    3. La paradoja de Bertrand
    4. Triángulo a partir de los tres trozos de un segmento
    5. Punto interior a un triángulo equilátero
    6. Distancia entre dos puntos aleatorios de un segmento
    7. Triángulo inscrito en una circunferencia
    8. Triángulo interior a círculo
    9. Dos segmentos aleatorios dentro de otro

1.

Simulaciones de lanzamientos y extracciones

Lanzamientos de dados y monedas, extracciones de cartas: simulaciones y recogida de los resultados en tablas y diagramas de barras

  • 1. Lanzamiento de un dado: simulación y recuento de resultados
  • 2. Lanzamiento de dos dados: simulación y recuento de resultados
  • 3. Lanzamiento de dos monedas: simulación y recuento de resultados
  • 4. Lanzamiento de tres monedas: simulación y recuento de resultados
  • 5. Lanzamiento de cuatro monedas: simulación y recuento de resultados
  • 6. Sacando cartas de una baraja
  • 7. Tablas de números aleatorios
  • 8. La Lotería de Navidad

1.1.

Lanzamiento de un dado: simulación y recuento de resultados

En esta actividad podrás simular una gran cantidad de lanzamientos de un dado y controlar sus resultados mediante una tabla de frecuencias y su correspondiente diagrama de barras.
[list=1][*]Observa la tabla y el diagrama iniciales. En ellos se recogen los resultados tras haber lanzado un dado 10 veces. ¿Cuál es el resultado que más veces se ha producido? ¿Cuántas de las 10? ¿Y el resultado que menos se ha producido? Copia en tu cuaderno tanto la tabla como el diagrama para poder compararlo con otros posteriores.[br][/*][*]Pulsa el botón "Lanza una vez" y observa los cambios: describe qué ha cambiado en la tabla y qué en el diagrama de barras.[/*][*]Pulsa en "Reiniciar" y simula el lanzamiento del dado de nuevo 10 veces. Contesta a las mismas preguntas del primer apartado y vuelve a reproducir el diagrama en tu cuaderno.[/*][*]Si tuvieses que apostar a qué resultado va a ser el más repetido tras 100 lanzamientos, ¿a qué apostarías? ¿Por qué?[br][/*][*]Pulsa el botón [i]Play [/i]para "Lanzar muchas" veces y observa los cambios. Utiliza el botón de [i]Pause [/i]para detenerte a tiempo y luego observa los resultados tras 100 lanzamientos. Copia de nuevo en tu cuaderno el diagrama resultante.[br][/*][*]¿Cómo crees que será el diagrama tras 1000 lanzamientos? Compruébalo. Copia en tu cuaderno el diagrama correspondiente y luego describe los parecidos y diferencias entre los tres diagramas correspondientes a los resultados de 10, 100 y 1000 lanzamientos. ¿Cuál de ellos te parece más imprevisible? ¿Por qué?[/*][*]¿Observas alguna tendencia a medida que el número de lanzamientos aumenta? [br][/*][*]¿Has oído hablar de la Ley de los grandes números? Apóyate en la simulación anterior para explicar su significado de modo que cualquier compañero/a te pueda entender.[br][/*][/list]
– Manuel Sada

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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2.

Ley de los grandes números

Observación de la Ley de los grandes números en lanzamientos de dados y monedas

  • 1. Ley de los grandes números en el lanzamiento de un dado
  • 2. Ley de los grandes números en el lanzamiento de dos dados

2.1.

Ley de los grandes números en el lanzamiento de un dado

En esta actividad se simula el lanzamiento de un dado y se recogen los resultados obtenidos en una tabla de frecuencias. [br]Además se construye la gráfica correspondiente a la frecuencia relativa de un suceso asociado al lanzamiento del dado (que inicialmente es el de [i]obtener un resultado impar[/i])
[list=1][*]Pulsa el botón "Lanzar una vez" y describe los cambios en el dado y en la tabla.[br]Vuelve a pulsarlo varias veces y describe lo ocurrido en la tabla y en la gráfica de la derecha:[/*][*]¿Qué datos se recogen en cada fila de la tabla?[/*][*]¿Cuál es el suceso S? ¿Cuándo se visualiza, a la derecha del dado, el icono verde y cuándo el rojo?[/*][*]¿De qué depende la posición del punto rojo de la gráfica en cada momento? ¿En qué celdas de la tabla se pueden encontrar las dos coordenadas de ese punto rojo?[/*][*]En el lanzamiento de un dado, razona cuál es la probabilidad de que el resultado sea impar.[/*][*]Pulsa sobre el [i]play [/i](a la derecha de "Lanzar muchas") y observa la evolución de la gráfica. Descríbela. [/*][*]Pulsa en "Reiniciar" y vuelve a simular el lanzamiento del dado cientos de veces. ¿Qué ocurre con el valor de la frecuencia relativa cuando el número de lanzamientos es muy elevado?[/*][*]Razona cuál es la probabilidad de que el resultado de lanzar un dado sea 5.[/*][*]Tras pulsar en "Reiniciar" usa las casillas para redefinir S como el suceso correspondiente a obtener un cinco: S = {5}. Simula el lanzamiento del dado cientos de veces y observa la gráfica: ¿qué relación hay entre la frecuencia relativa de S y la probabilidad de S?[/*][*]¿Y si S = "obtener menos que 3"?[/*][/list]
– Manuel Sada

2.2.

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3.

Problemas de Probabilidad

Diferentes problemas de probabilidad curiosos o famosos para ser estudiados con el apoyo de la correspondiente simulación. No se trata de problemas convencionales donde aplicar la o las fórmulas apropiadas sino de problemas que se prestan a la observación de pautas en los resultados, la recogida de resultados, la reflexión y la aproximación a una resolución razonada. También se sugieren caminos (no siempre sencillos) para una resolución exacta. Las simulaciones también permiten comprender mejor la diferencia entre las probabilidades exactas, los resultados esperables y los que realmente se obtienen en los experimentos aleatorios. Muchos de los problemas fueron conocidos de la mano del gran profesor Santiago Fernández Fernández, con quien tanto hemos aprendido muchos y muchas. [url]https://www.catarata.org/libro/azar-y-probabilidad-en-matematicas_125111/[/url]

  • 1. Galileo y los tres dados
  • 2. El problema de los cumpleaños
  • 3. El tragasuertes (Chuck a Luck)
  • 4. El problema de los dados del caballero De Méré
  • 5. El problema de las abejas y las dos estancias
  • 6. El problema de los sombreros de Euler (y el problema de la Rencontré)
  • 7. El problema de los patos
  • 8. La Ruina del Jugador
  • 9. Paseos aleatorios por el plano
  • 10. Paseos aleatorios por el espacio
  • 11. El concurso de Monty Hall
  • 12. Los seis resultados de un dado
  • 13. El problema del coleccionista de cupones

3.1.

Galileo y los tres dados

Problema:
El duque de Toscana le preguntó un día a Galileo: ¿por qué cuando se lanzan 3 dados se obtiene más veces la suma 10 que la suma 9, aunque se obtenga de 6 maneras diferentes cada una?[br][br]
Simulación:
¿Estaba el duque en lo cierto en cuanto a la mayor frecuencia del 10 que del 9? Matiza tu respuesta en relación al número de lanzamientos[br][br][b]Sugerencias para la Resolución del Problema:[/b][br][list=1][*]¿Cuáles son esas 6 maneras diferentes de obtener la suma 9? ¿Y para la suma 10?[br][/*][*]¿Son equiprobables cada una de esas 6 maneras? ¿Por qué?[br][/*][*]Calcula las probabilidades correspondientes.[br][/*][*]¿Cuál pudo ser la respuesta de Galileo al duque de Toscana?[br][/*][/list]
– Manuel Sada

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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3.8.

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3.9.

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3.10.

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3.11.

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3.12.

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3.13.

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4.

Problemas de Probabilidad Geométrica

Problemas comentados o propuestos por Santiago Fernández Fernández en su libro "Azar y Probabilidad en Matemáticas" ([url]https://www.catarata.org/libro/azar-y-probabilidad-en-matematicas_125111/[/url])

  • 1. La aguja de Buffon
  • 2. La moneda "de Buffon"
  • 3. La paradoja de Bertrand
  • 4. Triángulo a partir de los tres trozos de un segmento
  • 5. Punto interior a un triángulo equilátero
  • 6. Distancia entre dos puntos aleatorios de un segmento
  • 7. Triángulo inscrito en una circunferencia
  • 8. Triángulo interior a círculo
  • 9. Dos segmentos aleatorios dentro de otro

4.1.

La aguja de Buffon

Problema:
Una aguja de un centímetro de longitud cae sobre un tablero con paralelas separadas también por un centímetro. ¿Cuál es la probabilidad de que la aguja caiga sobre alguna de las líneas?
Simulación:
Experimenta con la simulación y contesta:
Pulsa el botón "Lanzar una aguja" y observa. Más tarde puedes pulsar el [i]play [/i]para simular el lanzamiento de grandes cantidades de agujas.[br][list=1][*]¿Cuántas de las 10 primeras agujas lanzadas tocan alguna línea?[/*][*]¿Qué te parece más probable, que una aguja toque o no toque alguna línea?[/*][*]¿En torno a qué porcentaje de las agujas tocan una línea tras más de mil lanzamientos?[/*][*]¿Qué representan las variables [i]n[/i], [i]t [/i]y [i]L[/i]?[/*][*]El cociente 2nL/t parece tender a un número especialmente importante en Matemáticas. ¿A cuál?[/*][*]Deduce a partir de ese hecho cuál será la probabilidad de que al lanzar una aguja toque alguna línea.[/*][*]¿Y si la longitud de L es de 0.5 cm? ¿Qué te parece más probable que toque o que no toque? Intenta deducir la probabilidad.[/*][*]¿Y si la longitud es de 2 cm?[br][/*][*]El de la aguja de Buffon es un problema clásico. Investiga quién y cuándo se planteó y cómo y cuándo se resolvió.[/*][/list][br]
– Manuel Sada

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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