[b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][b][size=100][size=150][color=#999999][br][/color][/size][/size][/b]

＜微分係数は傾き＞[br]関数y=f(x)の微分係数f'(a)は、関数のグラフとの接点(a,f(a))での接線の傾き[slope]と等しい。[br]ｙ＝ｆ（ｘ）のｘ＝aにおける[color=#9900ff][b]接線[tangent line][/b][/color]の方程式は、[color=#0000ff][b]ｙ＝f'(a)(x-a)+f(a)[/b][/color][br]また、方向ベクトル（p,q)と垂直なベクトルは(q,-p)と言える(内積＝０）し、[br]２つの傾きｍ，ｎが垂直なのはmn=-1のときだとも言える。[br]こうして、接点を通る[color=#9900ff][b]法線[normal][/b][/color]の方程式は[b][color=#0000ff]ｙ＝-1/f'(a)(x-a)+f(a)[/color][/b]となるね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ｙ＝e[sup]x[/sup]のx=aでの接線と法線の方程式」は？[br]a=0のとき、[br]y’もe[sup]x[/sup]で、e[sup]0[/sup]=1だから、接点は(0,1)傾きも１。y=x+1が接線。法線はy=-x+1。[br]x=aのとき、接点は(a,f(a)),傾きもf(a)だから、y=f(a)(x-a)+f(a)が接線で、法線の傾きは-1/f(a)。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「曲線x[sup]2[/sup]+xy+y[sup]2[/sup]=1の接点(1,0)での接線の方程式」は？[br] xで微分して2x+y+xy'+2y・y'=0から、y'=-(2x+y)/(x+2y)。傾きは-(2)/(1)=-2。y=-2(x-1)+0=-2x+2[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「曲線x=cos[sup]5[/sup]θ,ｙ＝sin[sup]5[/sup]θの(x(θ),y(θ))での接線の方程式」は？[br]　導関数はdy/dx=(dy/dθ)/(dy/dθ)=(5sin[sup]4[/sup]θ・cosθ)/(5cos[sup]4[/sup]θ・(-sinθ))=-tan[sup]3[/sup]θ。[br]　y=-tan[sup]3[/sup]t(x-x(t))+y(t)

＜２回微分＞[br]積の微分で積の増減をみる。[br]ｆ(x)＝ｘ、ｇ(x)＝e[sup]-x[/sup]とするとき、積ｆｇ（ｘ）のおよその形を考えてみよう。[br]f'=1,f''=0, g'=-e[sup]-x[/sup]=-g g''=g[br]・関数値そのままで[b][color=#0000ff]値の変化[/color][/b]を見る。[br]f(x)=ｘはｘの正負がそのまま反映されるｘ＝０で０になるので、ｆｇ＝０になる。[br]g(x)はすべて正だが、ｘが負だと絶対値は大きく、０で１、正だと１より小さい。[br]・１回微分で[color=#0000ff][b]極大極小[/b][/color]を見る。[br](fg)'=f'g+fg'=1g+x(-g)=g(1-x)=e[sup]-x[/sup](1-x)[br]これから、（fg)'がｘが１未満なら正だからfgは増加、（fg)'がｘが１より大なら負だからfgは減少、[br](fg)'はｘ＝1のときに０だからfgは最大になる。[br]・２回微分で[color=#0000ff][b]変曲点[/b][/color]を見る。[br](fg)''=(f'g+fg')'=f''g+f'g'+f'g'+fg''=f''g+2f'g'+fg''=0+2(-g)+xg=g(2-x)=e[sup]-x[/sup](2-x)だから、[br]ｘ＝２で上に[color=#0000ff][b]凸から下に凸[/b][/color]に入れ替わる変曲点。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ｙ＝f(x)=x+１/xのグラフの概形」は？[br]反比例のグラフに正比例のグラフをたし算すると考えると、ｘ軸を４５°反時計回りに回転した[br]ｙ＝ｘの直線の上側にｙ＝１/xを押し上げた形になることは容易に想像できる。[br]また、相加平均が相乗平均以上であることをつかうとｘ＝１/xつまり、ｘ＝±１で最大最小値の[br]＋２，−２になることもわかるね。[br]微分で検証してみよう。[br]f(x)はｘ→＋０で∞、ｘ→ー０で−∞。だから、ｘ＝０近辺でほとんど１/xと同じグラフになる。[br]f'(x)=1-1/x[sup]2[/sup]=０の解はx=±１で絶対値が１より多いと正で増加関数、１未満で減少。[br]f''(x)=2/x[sup]3[/sup]＝０の解はない。しかし、ｘが負で負だから上に凸、ｘが正で正だから下に凸。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「y=f(x)=x[sup]2[/sup]e[sup]-x[/sup]のグラフの概形」は？[br]g(x)=x[sup]2[/sup],h(x)=e[sup]-x[/sup]とすると、g'=2x,g''=2。h'=-e[sup]-x[/sup],h''=e[sup]x[br][/sup]g(0)=g'(0)=0。h(0)=h''(0)=1, h'(0)-1。h(x),h''(x)はつねに正、h'(x)は負。これから、[br]f(x)はｘ＝０で０だから、原点を通る。原点付近はほぼｙ=x2と同様の下に凸のグラフ。[br]f'(x)=(gh)'=g'h+gh'=2xe[sup]-x[/sup]-x[sup]2[/sup]e[sup]-x[/sup]=x(2-x)e[sup]-x[/sup]=0となるのは、x=0,2で、０と２の間は正で増加する。[br]だから、０で最小、２で最大値。最大値は4e[sup]-2[/sup]=4/e[sup]2[/sup][br]f''(x)=(2x-x[sup]2[/sup])e[sup]-x[/sup]=(2x-x[sup]2[/sup])'e[sup]-x[/sup]+(2x-x[sup]2[/sup])(e[sup]-x[/sup])'=(2-2x)e[sup]-x[/sup]-(2x-x[sup]2[/sup])(e[sup]-x[/sup])=(2-4x+x[sup]2[/sup])e[sup]-x[/sup]=0となるのは、[br]x2-4x+2=0 x=2±√2のときでその間は負で下に凸。それ以外の両側は上に凸。境目が変曲点。