Analysis-Brückenkurs
Eine Sammlung von Applets zu Funktionen einer Variablen: Von verschiedenen Funktionstypen über die Differential- zur Integralrechnung (Terveer/Terveer: Analysis-Brückenkurs für Wirtschaftswissenschaften, UTB 2011)
Table of Contents
- Der Funktionsbegriff
- Skizzierung eines Funktionsgraphen
- Bild und Urbild zur Normalparabel f(x)=x²
- Bezeichnungen rund um Funktionen
- Grafische Konstruktion der Umkehrfunktion
- Lineare Funktionen
- Steckbrief einer linearen Funktion
- Quadratische Funktionen
- Parabelform
- Umkehrfunktionen zu Parabelfunktionen
- Berechnung des Cournot-Punktes in einem linearen Nachfragemodell
- Parabelsteckbrief
- Rationale Funktionen
- Graphen von Monomfunktionen und deren (teilweisen) Umkehrfunktionen
- Weitere spezielle Funktionen
- Allgemeine und Eulersche Exponentialfunktion
- Multiplikation mit dem Rechenschieber
- Logarithmus- und Potenztransformation von Datenreihen
- Graphen von Potenzfunktionen
- Gradmaß versus Bogenmaß
- Entstehung der Sinusfunktion und Kosinusfunktion aus dem Einheitskreis
- Modellierung und Prognose von Daten mit Saison-Komponente
- Funktionsgrenzwerte
- Illustration des Funktionsgrenzwertes
- Illustration des Grenzwertes mit der epsilon-delta-Definition
- Darstellung einer Kurvenschar und ihrer stetigen Fortsetzung
- Illustration des Zwischenwertsatzes
- Nullstellensuche mit der Regula falsi
- Differentialrechnung
- Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen
- Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Newton-Verfahren
- Graphen der Stückkostenfunktion f(x)=a/x+bx+c
- Integralrechnung
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Flächenberechnung durch Ausschöpfung mit Rechtecken (Untersummen)
- Illustration der Konsumentenrente für empirische Preisbereitschaften
- Von der empirischen Konsumentenrente zum Integral der Nachfragefunktion
Skizzierung eines Funktionsgraphen
Der Graph einer Funktion wird durch Eintragen von Punkten (x|f(x)) in ein Koordinatensystem erstellt. Wenn die Punkte dicht genug liegen, kann man durch Zeichnen einer Ausgleichskurve durch die Punkte den Graph "vervollständigen". An diesem Graph lassen sich dann Funktionswerte ablesen.
1. Erzeugen Sie mit dem Regler links oben eine zunehmende Anzahl von Punkten[br]2. Mit dem Kontrollkästchen legen Sie eine Ausgleichskurve durch die skizzierten Punkte[br]3. Durch Verschieben des Abszissenpunktes x im Intervall [-3;3] kann der zugehörige Punkt (x|f(x)) auf dem Graph angegeben werden.
Steckbrief einer linearen Funktion
Zwei Punkte P,Q, deren erste Koordinate nicht übereinstimmt, legen eine Gerade fest
Verschieben Sie P und oder Q und beobachten Sie die Veränderung der Gerade sowie ihrer Achsenabschnitte
Parabelform
Gestalt und Scheitelpunkt einer Parabel y=ax²+bx+c in Abhängigkeit von den Parametern a,b,c
Aktivieren Sie über die Kontrollkästchen Schieberegler zur Veränderung von a,b,c. [br][br]Für den Parameter a (bzw. b) können Sie sich auch die Scheitelpunkts-Ortskurve zeigen lassen, d.h. die Lage des Parabelscheitelpunktes in Abhängigkeit von a (bzw. von b), wenn die jeweiligen anderen Parameter b,c (bzw. a,c) unverändert bleiben. Ist diese Ortskurve eine Funktion? Wenn ja, was für eine?
Graphen von Monomfunktionen und deren (teilweisen) Umkehrfunktionen
Mit dem Schieberegler können Sie den Grad des Monoms verändern.
Allgemeine und Eulersche Exponentialfunktion
In dem Applet können Exponentialfunktionen a^ der Eulerschen Exponentialfunktion e^x gegenüber gestellt werden
Welche Gemeinsamkeit haben alle Exponentialfunktionen? Skizzieren Sie hierzu die Schar - aktivieren Sie das Kontrollkästchen "Schar" und lassen Sie den Scharparameter über den Schieberegler variieren.[br][br]Welche Exponentialfunktion hat mit der Funktion h(x)=x+1 genau einen Punkt gemeinsam? Versuchen Sie, den zugehörigen Scharparameter mit dem Schieberegler visuell anzupassen, ohne den Lösungsterm und die e-Funktion zu verwenden. Vergleichen Sie anschließend den gefundenen Graph (Funktionsterm einblenden) mit dem Graph der e-Funktion.
Illustration des Funktionsgrenzwertes
Der Grenzwert lim(f(x)) für x->x_0 errechnet sich mit Hilfe einer (beliebigen) Folge (x_n) die sich x_0 annähert. Man bestimmt dazu den Grenzwert der Folge (f(x_n)).
Legen Sie zunächst die Lage der Stelle x_0 (rot) fest. Lassen Sie dann über den n-Schieberegler die Anzahl der Folgeglieder x_n, die sich x_0 annähern, wachsen.[br]Sie können dann beobachten, wie sich die Folge der Funktionswerten (f(x_n)) einem Wert y_0(bei stetigen Funktionen ist y_0=f(x_0)) annähert. Auch die Folge der Punkte P_n(x_n|f(x_n)) nähert sich einem Punkt (bei stetigen Funktionen dem Punkt P(x_0|y_0)) an.[br]Mit dem links/rechts-Schieberegler können Sie die Richtung der Annäherung an x_0 wechseln.
Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen
Führen Sie die Annäherung von x an x_0 mittels des Schiebereglers durch. Vergleichen Sie die abschließend gewonnene Sekante mit der Tangente an den Graph von f in x_0.[br][br]Da die Ableitung als Grenzwert gewonnen wird, kommt die Folge der Abszissenwerte x_n (bzw. der zugehörigen Punkte Q_n) dem Wert x_0 (bzw. dem Punkt P) zwar beliebig nahe, stimmt aber nie mit ihm überein.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Weil sich der Inhalt der Fläche unter dem Graph von f zwischen x_0 und x_1 auch als Inhalt eines Rechtecks der Breite x_1-x_0 und der Höhe f(z) mit einem Wert z zwischen x_0 und x_1 schreiben lässt, kann man die Integralfunktion differenzieren und gewinnt die Funktion f zurück.
Verschieben Sie x_0 und/oder x_1 und beobachten Sie, wie sich die Lage von z verändert. Wenn x_1 gegen x_0 strebt, so auch z. Hieraus ergibt sich der Hauptsatz.