[justify]Como se pode perceber nas questões propostas pelo problema, tem-se como objetivo fazer com que o aluno chegue, ao conceito de [math]\varepsilon[/math] e [math]\delta[/math] do limite pela definição. Para isso, após ser feita a plenária, o professor pode resolver cada uma das questões propostas no quadro. [br][br]Na questão [i]a [/i]utilizando a estratégia [i]i[/i], terá [math]f\left(p\right)=\left(400-p\right)\cdot0,5[/math], e substituindo [math]f\left(p\right)=100[/math], chegará em [math]p=200kwh[/math]. [br][br]Na questão[i] b[/i] após enfatizar o significado de tolerância para a fatura, através de inequações, terá a faixa de potência:[br][br][math]100-20\le f\left(p\right)\le100+20[/math][br][math]80\le\left(400-p\right)\cdot0,5\le120[/math][br][math]80\le200-p\cdot0,5\le120[/math][br][math]-120\le-p\cdot0,5\le-80[/math][br][br][br]Multiplicado a inequação por -1, e já invertendo o sinal da desigualdade, obterá:[b][/b][br][math]80\le p\cdot0,5\le120[/math].[br][br]E então,[br][math]160\le p\cdot0,5\le240[/math].[br][br]Analogamente, na questão [i]c[/i] será encontrado:[br][math]90\le p\cdot0,5\le110\Rightarrow180\le p\cdot0,5\le220[/math].[br][br]Para representação gráfica da questão [i]d[/i], pode ser utilizado o GeoGebra, destacando que quanto menor a tolerância na fatura, cada vez mais a potência desejada se aproxima de 200kwh.[br][br]O professor deve chamar atenção dos alunos para o que acontece na questão [i]e[/i], e qual é a relação dela com as questões anteriores desse problema. Nesse caso, temos que a tolerância é representada por [math]\varepsilon[/math] e a variação de potência por [math]\delta[/math]. Pelas resoluções das questões [i]b [/i]e [i]c[/i], podemos chegar a:[br][br][math]100-\varepsilon\le f\left(p\right)\le100+\varepsilon\left(I\right)[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]200-\delta\le p\le200+\delta\left(II\right)[/math].[br][br]Desenvolvendo (I), temos[br][/justify][math]100-\varepsilon\le200-0,5p\le100+\varepsilon[/math][br][math]-100-\varepsilon\le-0,5p\le-100+\varepsilon[/math][br][br]Multiplicado a inequação por -1, e já invertendo o sinal da desigualdade, tem-se:[br][math]100+\varepsilon\ge0,5p\ge100-\varepsilon[/math][br][br]o que é equivalente a:[br][math]100-\varepsilon\le0,5p\le100+\varepsilon[/math][br][br]e então,[br][math]200-2\varepsilon\le p\le200+2\varepsilon[/math].[br][br]Comparando o desenvolvimento em (I) com o que é dado em (II), pode-se concluir que: [math]\delta=2\varepsilon[/math].[br][br]O que pode ser mostrado geometricamente através do aplicativo desenvolvido, ou seja, para cada variação da tolerância da fatura, a variação da potência aumenta duas vezes mais.

A partir disso, o professor pode generalizar, falando que dado um [math]\varepsilon>0[/math] é possível encontrar [math]\delta>0[/math], tal que [math]\delta[/math] dependa de [math]\varepsilon[/math]. Dessa questão, teríamos que:[br][math]\left|f\left(p\right)-100\right|<\varepsilon[/math] e [math]\left|p-200\right|<\delta[/math].[br][br]E assim, generalizando, diz-se que [math]\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=L[/math] se para todo ponto [math]\varepsilon>0[/math] dado arbitrariamente, existe [math]\delta[/math]>0, tal que se x pertence ao domínio de [i]f[/i] e [math]0<\left|x-a\right|<\delta[/math] então [math]\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon[/math].[br][br]