Geometrische Beweise

Georg Wengler, Apr 12, 2017

Table of Contents

  1. Winkel
    1. Winkel gleich groß
    2. Winkel gleich groß
    3. Winkelhalbierende
    4. Rechter Winkel
    5. Winkel im In- und Ankreis
    6. Parallelität
    7. Rechter Winkel
    8. Winkel gleich groß
    9. Winkel ermitteln
    10. Winkel
    11. Winkel im Ankreis
    12. Winkel 10°,20°,30°,40°,50°,60°,70°
    13. Winkel 20°,30°,40°,50°,60°,80°
    14. Aufgabe - Normale
    15. Aufgabe - Normale - Lösung
    16. Aufgabe - Normale
    17. Rechter Winkel
    18. Winkel ermitteln
    19. Winkel ermitteln - Lösung
    20. Winkel gleich groß
    21. Winkel ermitteln
    22. Winkel ermitteln
    23. Winkel ermitteln
    24. Winkel ist 45°
    25. Rechter Winkel
    26. Winkel gleich groß
    27. Winkel ermitteln
    28. cos-Beziehung
    29. Winkel im 3x3-Gitter
    30. Winkel ermitteln
    31. Winkel ermitteln
    32. Winkel im Quadrat und Pentagon
    33. Winkel und Sehnen-Tangenten-Satz
    34. Winkelzusammenhänge
    35. Winkelstafette
    36. Summe der Winkel
    37. Winkel ermitteln
    38. Winkel 45°
    39. Mehrfachwinkel
    40. Winkelverhältnisse
    41. 3D - Pythagoräischer Lehrsatz
    42. TAN und COT
    43. 10er-Winkel im regelmäßigen Neuneck
    44. Neunecke im Achtzehneck
    45. trigonometrische Aufgabe
    46. Aufgabe - Winkelhalbierende
    47. arctan-Summe 90° und 180°
  2. Dreiecke
    1. Winkelsymmetralen
    2. Dreiecke und Flächen
    3. Flächenanteil
    4. Dreieck und Bogendreieck
    5. Quadrat gleich Rechteck
    6. Streckensumme
    7. Dreieck mit 60°-Winkel
    8. Abstandsverhältnisse eines Punktes zu den Dreieckseiten
    9. Streckenzug im Dreieck
    10. Halbes Dreieck
    11. Abstandssumme
    12. Dreiecke im Pentagon
    13. Dreiecke im Pentagon - Lösung
    14. Suche rechtwinkelige Dreiecke
    15. Winkelhalbierende im rechtwinkeligen Dreieck
    16. Winkelhalbierende im Dreieck
    17. Teilverhältnis im Dreieck
    18. Analyse einer Konstellation
    19. Dreiecke über ein Dreieck
    20. Kollinearität
    21. Inkreisradius
    22. Quadrate über Dreieck
    23. Streckenzug mit vier gleichen Strecken
    24. Dreieck im Quadrat
    25. Inkreismittelpunkt anders
    26. Quadratisches Mittel 3
    27. Dreieck und Viereck flächengleich
    28. Quadrate über die Dreiecksseiten
    29. Gekipptes Quadrat
    30. Konstant 2 im Dreieck
    31. Höhenschnittpunkt und Parallelogramm
    32. Dualer CevaPunkt
    33. Zwei gleichseitige Dreiecke und drei Quadrate
    34. PLS - Ähnlichkeit der Teildreiecke
    35. Teildreieck und Satz von Ceva
    36. Interessante Ortslinie im Dreieck
    37. Simsongerade und ihre Einhüllende (envelope)
    38. COS-Satz
    39. Dreieck: Winkel- und Seitensymmetralen
    40. Transversalen-Dreieck
    41. 3-4-5-Dreieck
    42. Inkreis und Ankreise im rechtwinkeligen Dreieck
    43. Pythagoräischer Lehrsatz
    44. Durchschnitt Halbkreis und gls. Dreieck im Quadrat
    45. Anteil im Dreieck
    46. Pentagonpunkt eines Dreiecks
    47. Umfang der Tangentialdreiecke am Inkreis
    48. Aufgabe
    49. Dreieck: Flächen- und umfangsgleiche Teilung
    50. Aufgabe: Beweise Gleichheit
  3. Vierecke
    1. Fläche halbieren
    2. Gleiche Länge
    3. Rechter Winkel
    4. Gleichschenkeliges Dreieck und 45°
    5. Streckenlänge
    6. Dreiecksflächen
    7. c² = a² + b²
    8. Viereck - Parallelogramme
    9. Rechter Winkel im Parallelogramm
    10. Rechteck - Diagonale
    11. Dreiecke im Quadrat
    12. Quadrat - Rechteck
    13. Quadrat im Dreieck
    14. Streckengleichheit
    15. Flächenanteil im Rechteck
    16. Quadrate im Quadrat
    17. Flächenvergleich im Viereck
    18. Teilfläche im Viereck
    19. Ableseübung im Viereck
    20. Flächeninhalt ermitteln
    21. Flächenanteile im Parallelogramm
    22. Viereck im Trapez
    23. Gleichseitige Dreiecke im Rechteck
    24. Quadrate im Rechteck
    25. Sehnenviereck im Fünfeck
    26. Aufgabe: Quadrat in Viertelbogen einschreiben
    27. 1 : 2 : 3 : 4
    28. Satz von Brahmagupta 1
    29. Kollinearität
    30. Quadrat-Konstellation
    31. Trapez mit normal stehenden Diagonalen
    32. Beweis ohne Worte
  4. Vielecke
    1. Aufgabe: Dreieck = Trapez
    2. Vieleck mit Rechtecken
    3. Gleichschenkeliges Dreieck im Vieleck
    4. 2n-Eck
    5. Winkel im Fünfeck
    6. Regelmäßiges Siebeneck
  5. Kreise
    1. Kreis: Tangente-Kreis
    2. Kreis: Punkt-Punkt-Tangente
    3. Kreis: Punkt-Tangente-Tangente
    4. Kreis: Punkt-Punkt-Kreis
    5. Kreis: Punkt-Kreis-Kreis
    6. Kreis: Punkt-Tangente-Kreis
    7. Kreis: Tangente-Tangente-Kreis
    8. Kreis: Tangente-Kreis-Kreis
    9. Sehne im Kreis
    10. Kreisradien
    11. Kreise - Quadrat und gleichseitiges Dreieck
    12. Kreise - Quadrat und gleichseitiges Dreieck - Lösung
    13. Kreise - Dreieck
    14. Kreis berührt Kreis und Rechtwinkel
    15. Bogenhalbierung
    16. Radius ermitteln
    17. Zwei Kreise und Gerade - Kreis / Quadrat
    18. Gleiche Sehnen
    19. Sichel und Dreieck
    20. Berührende Kreise
    21. Radienverhältnis
    22. Ring und Kreis flächengleich
    23. Interpretation
    24. Kreis, Sichel, Kralle und Quadrat
    25. Kreisteile und Quadrat gleich
    26. Zwei Kreise im Rechteck
    27. Kreis im Bogen und Dreieck
    28. Fünf Kreise im Quadrat 1
    29. Fünf Kreise im Quadrat 2
    30. Kreis berührt Halb- und Viertelkreis im Quadrat
    31. Drei Kreise inder Kreiskehle
    32. Sangaku 1
    33. Sangaku 2
    34. Pizza-Theorem Kreis
    35. Winkel und Sehnen im Kreis
    36. Kreissehne
    37. Radiusteilung
    38. Sichelflächen
    39. Kreis in T-Form dritteln
    40. Berührende Kreise
    41. Satz von Cassey
    42. Aufgabe: Kreisbogendreieck
    43. n Kreise im Gotikbogen
    44. Kreisaufgabe
    45. Aufgabe - Inkreis im Quadrat
    46. Teilverhältnis und Ähnlichkeit
    47. Schustermesser
    48. Kreisaufgabe im Halbkreis
    49. Berührproblem
    50. Flächengleichheit
    51. Aufgabe: Parallelität
  6. Kegelschnitte
    1. Ellipse rollt an Ellipse
    2. zwei Parabelen: Vier Schnittpunkte auf einem Kreis
    3. Rollende Parabel
    4. Sehnenviereck und Hyperbel
    5. Projektivität der Kegelschnitte

1.

Winkel

  • 1. Winkel gleich groß
  • 2. Winkel gleich groß
  • 3. Winkelhalbierende
  • 4. Rechter Winkel
  • 5. Winkel im In- und Ankreis
  • 6. Parallelität
  • 7. Rechter Winkel
  • 8. Winkel gleich groß
  • 9. Winkel ermitteln
  • 10. Winkel
  • 11. Winkel im Ankreis
  • 12. Winkel 10°,20°,30°,40°,50°,60°,70°
  • 13. Winkel 20°,30°,40°,50°,60°,80°
  • 14. Aufgabe - Normale
  • 15. Aufgabe - Normale - Lösung
  • 16. Aufgabe - Normale
  • 17. Rechter Winkel
  • 18. Winkel ermitteln
  • 19. Winkel ermitteln - Lösung
  • 20. Winkel gleich groß
  • 21. Winkel ermitteln
  • 22. Winkel ermitteln
  • 23. Winkel ermitteln
  • 24. Winkel ist 45°
  • 25. Rechter Winkel
  • 26. Winkel gleich groß
  • 27. Winkel ermitteln
  • 28. cos-Beziehung
  • 29. Winkel im 3x3-Gitter
  • 30. Winkel ermitteln
  • 31. Winkel ermitteln
  • 32. Winkel im Quadrat und Pentagon
  • 33. Winkel und Sehnen-Tangenten-Satz
  • 34. Winkelzusammenhänge
  • 35. Winkelstafette
  • 36. Summe der Winkel
  • 37. Winkel ermitteln
  • 38. Winkel 45°
  • 39. Mehrfachwinkel
  • 40. Winkelverhältnisse
  • 41. 3D - Pythagoräischer Lehrsatz
  • 42. TAN und COT
  • 43. 10er-Winkel im regelmäßigen Neuneck
  • 44. Neunecke im Achtzehneck
  • 45. trigonometrische Aufgabe
  • 46. Aufgabe - Winkelhalbierende
  • 47. arctan-Summe 90° und 180°

1.1.

Winkel gleich groß

Zeige, dass die beiden markierten Winkel gleich groß sind.
– Georg Wengler

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

1.11.

–

1.12.

–

1.13.

–

1.14.

–

1.15.

–

1.16.

–

1.17.

–

1.18.

–

1.19.

–

1.20.

–

1.21.

–

1.22.

–

1.23.

–

1.24.

–

1.25.

–

1.26.

–

1.27.

–

1.28.

–

1.29.

–

1.30.

–

1.31.

–

1.32.

–

1.33.

–

1.34.

–

1.35.

–

1.36.

–

1.37.

–

1.38.

–

1.39.

–

1.40.

–

1.41.

–

1.42.

–

1.43.

–

1.44.

–

1.45.

–

1.46.

–

1.47.

–

2.

Dreiecke

  • 1. Winkelsymmetralen
  • 2. Dreiecke und Flächen
  • 3. Flächenanteil
  • 4. Dreieck und Bogendreieck
  • 5. Quadrat gleich Rechteck
  • 6. Streckensumme
  • 7. Dreieck mit 60°-Winkel
  • 8. Abstandsverhältnisse eines Punktes zu den Dreieckseiten
  • 9. Streckenzug im Dreieck
  • 10. Halbes Dreieck
  • 11. Abstandssumme
  • 12. Dreiecke im Pentagon
  • 13. Dreiecke im Pentagon - Lösung
  • 14. Suche rechtwinkelige Dreiecke
  • 15. Winkelhalbierende im rechtwinkeligen Dreieck
  • 16. Winkelhalbierende im Dreieck
  • 17. Teilverhältnis im Dreieck
  • 18. Analyse einer Konstellation
  • 19. Dreiecke über ein Dreieck
  • 20. Kollinearität
  • 21. Inkreisradius
  • 22. Quadrate über Dreieck
  • 23. Streckenzug mit vier gleichen Strecken
  • 24. Dreieck im Quadrat
  • 25. Inkreismittelpunkt anders
  • 26. Quadratisches Mittel 3
  • 27. Dreieck und Viereck flächengleich
  • 28. Quadrate über die Dreiecksseiten
  • 29. Gekipptes Quadrat
  • 30. Konstant 2 im Dreieck
  • 31. Höhenschnittpunkt und Parallelogramm
  • 32. Dualer CevaPunkt
  • 33. Zwei gleichseitige Dreiecke und drei Quadrate
  • 34. PLS - Ähnlichkeit der Teildreiecke
  • 35. Teildreieck und Satz von Ceva
  • 36. Interessante Ortslinie im Dreieck
  • 37. Simsongerade und ihre Einhüllende (envelope)
  • 38. COS-Satz
  • 39. Dreieck: Winkel- und Seitensymmetralen
  • 40. Transversalen-Dreieck
  • 41. 3-4-5-Dreieck
  • 42. Inkreis und Ankreise im rechtwinkeligen Dreieck
  • 43. Pythagoräischer Lehrsatz
  • 44. Durchschnitt Halbkreis und gls. Dreieck im Quadrat
  • 45. Anteil im Dreieck
  • 46. Pentagonpunkt eines Dreiecks
  • 47. Umfang der Tangentialdreiecke am Inkreis
  • 48. Aufgabe
  • 49. Dreieck: Flächen- und umfangsgleiche Teilung
  • 50. Aufgabe: Beweise Gleichheit

2.1.

Winkelsymmetralen

a) Zeige, dass die äußeren Winkelsymmetralen in A und B[br]mit den Normalen durch die Ecke C eine Strecke (a+b+c)/2 liefern.[br]b) Zeige, dass die inneren Winkelsymmetralen in A und B[br]mit den Normalen durch die Ecke C eine Strecke (a+b-c)/2 liefern.
– Georg Wengler

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

2.10.

–

2.11.

–

2.12.

–

2.13.

–

2.14.

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2.15.

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2.16.

–

2.17.

–

2.18.

–

2.19.

–

2.20.

–

2.21.

–

2.22.

–

2.23.

–

2.24.

–

2.25.

–

2.26.

–

2.27.

–

2.28.

–

2.29.

–

2.30.

–

2.31.

–

2.32.

–

2.33.

–

2.34.

–

2.35.

–

2.36.

–

2.37.

–

2.38.

–

2.39.

–

2.40.

–

2.41.

–

2.42.

–

2.43.

–

2.44.

–

2.45.

–

2.46.

–

2.47.

–

2.48.

–

2.49.

–

2.50.

–

3.

Vierecke

  • 1. Fläche halbieren
  • 2. Gleiche Länge
  • 3. Rechter Winkel
  • 4. Gleichschenkeliges Dreieck und 45°
  • 5. Streckenlänge
  • 6. Dreiecksflächen
  • 7. c² = a² + b²
  • 8. Viereck - Parallelogramme
  • 9. Rechter Winkel im Parallelogramm
  • 10. Rechteck - Diagonale
  • 11. Dreiecke im Quadrat
  • 12. Quadrat - Rechteck
  • 13. Quadrat im Dreieck
  • 14. Streckengleichheit
  • 15. Flächenanteil im Rechteck
  • 16. Quadrate im Quadrat
  • 17. Flächenvergleich im Viereck
  • 18. Teilfläche im Viereck
  • 19. Ableseübung im Viereck
  • 20. Flächeninhalt ermitteln
  • 21. Flächenanteile im Parallelogramm
  • 22. Viereck im Trapez
  • 23. Gleichseitige Dreiecke im Rechteck
  • 24. Quadrate im Rechteck
  • 25. Sehnenviereck im Fünfeck
  • 26. Aufgabe: Quadrat in Viertelbogen einschreiben
  • 27. 1 : 2 : 3 : 4
  • 28. Satz von Brahmagupta 1
  • 29. Kollinearität
  • 30. Quadrat-Konstellation
  • 31. Trapez mit normal stehenden Diagonalen
  • 32. Beweis ohne Worte

3.1.

Fläche halbieren

In einem konvexen Fünfeck bewegt sich entlang einer Seite ein Punkt.[br]Die anderen Seiten werden halbiert. Zeige, dass die markieren Flächen[br]zusammen halb so groß sind die das Fünfeck.
– Georg Wengler

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

3.15.

–

3.16.

–

3.17.

–

3.18.

–

3.19.

–

3.20.

–

3.21.

–

3.22.

–

3.23.

–

3.24.

–

3.25.

–

3.26.

–

3.27.

–

3.28.

–

3.29.

–

3.30.

–

3.31.

–

3.32.

–

4.

Vielecke

  • 1. Aufgabe: Dreieck = Trapez
  • 2. Vieleck mit Rechtecken
  • 3. Gleichschenkeliges Dreieck im Vieleck
  • 4. 2n-Eck
  • 5. Winkel im Fünfeck
  • 6. Regelmäßiges Siebeneck

4.1.

Aufgabe: Dreieck = Trapez

– Georg Wengler

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

5.

Kreise

  • 1. Kreis: Tangente-Kreis
  • 2. Kreis: Punkt-Punkt-Tangente
  • 3. Kreis: Punkt-Tangente-Tangente
  • 4. Kreis: Punkt-Punkt-Kreis
  • 5. Kreis: Punkt-Kreis-Kreis
  • 6. Kreis: Punkt-Tangente-Kreis
  • 7. Kreis: Tangente-Tangente-Kreis
  • 8. Kreis: Tangente-Kreis-Kreis
  • 9. Sehne im Kreis
  • 10. Kreisradien
  • 11. Kreise - Quadrat und gleichseitiges Dreieck
  • 12. Kreise - Quadrat und gleichseitiges Dreieck - Lösung
  • 13. Kreise - Dreieck
  • 14. Kreis berührt Kreis und Rechtwinkel
  • 15. Bogenhalbierung
  • 16. Radius ermitteln
  • 17. Zwei Kreise und Gerade - Kreis / Quadrat
  • 18. Gleiche Sehnen
  • 19. Sichel und Dreieck
  • 20. Berührende Kreise
  • 21. Radienverhältnis
  • 22. Ring und Kreis flächengleich
  • 23. Interpretation
  • 24. Kreis, Sichel, Kralle und Quadrat
  • 25. Kreisteile und Quadrat gleich
  • 26. Zwei Kreise im Rechteck
  • 27. Kreis im Bogen und Dreieck
  • 28. Fünf Kreise im Quadrat 1
  • 29. Fünf Kreise im Quadrat 2
  • 30. Kreis berührt Halb- und Viertelkreis im Quadrat
  • 31. Drei Kreise inder Kreiskehle
  • 32. Sangaku 1
  • 33. Sangaku 2
  • 34. Pizza-Theorem Kreis
  • 35. Winkel und Sehnen im Kreis
  • 36. Kreissehne
  • 37. Radiusteilung
  • 38. Sichelflächen
  • 39. Kreis in T-Form dritteln
  • 40. Berührende Kreise
  • 41. Satz von Cassey
  • 42. Aufgabe: Kreisbogendreieck
  • 43. n Kreise im Gotikbogen
  • 44. Kreisaufgabe
  • 45. Aufgabe - Inkreis im Quadrat
  • 46. Teilverhältnis und Ähnlichkeit
  • 47. Schustermesser
  • 48. Kreisaufgabe im Halbkreis
  • 49. Berührproblem
  • 50. Flächengleichheit
  • 51. Aufgabe: Parallelität

5.1.

Kreis: Tangente-Kreis

– Georg Wengler

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

5.10.

–

5.11.

–

5.12.

–

5.13.

–

5.14.

–

5.15.

–

5.16.

–

5.17.

–

5.18.

–

5.19.

–

5.20.

–

5.21.

–

5.22.

–

5.23.

–

5.24.

–

5.25.

–

5.26.

–

5.27.

–

5.28.

–

5.29.

–

5.30.

–

5.31.

–

5.32.

–

5.33.

–

5.34.

–

5.35.

–

5.36.

–

5.37.

–

5.38.

–

5.39.

–

5.40.

–

5.41.

–

5.42.

–

5.43.

–

5.44.

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5.45.

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5.46.

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5.47.

–

5.48.

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5.49.

–

5.50.

–

5.51.

–

6.

Kegelschnitte

  • 1. Ellipse rollt an Ellipse
  • 2. zwei Parabelen: Vier Schnittpunkte auf einem Kreis
  • 3. Rollende Parabel
  • 4. Sehnenviereck und Hyperbel
  • 5. Projektivität der Kegelschnitte

6.1.

Ellipse rollt an Ellipse

– Georg Wengler

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

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