Einführung Differentialrechnung
Wie groß ist die Steigung? Gib die Änderungsrate an? Rückschau aus der Eingangsklasse: - Was ist eine Funktion und welche Darstellungsarten gibt es? - Welche Funktionsarten gibt es? - Verschiedene Berechnungen (Nullstellen, Schnittpunkte, Veränderung von Funktionsgraphen, Hoch- und Tiefpunkte, Grenzwert, Symmetrie, Monotonie) - Anwendungen in verschiedenen Zusammenhängen In diesem Buch geht es um...
Table of Contents
- Rückschau und Wiederholung
- Ableitung der Exponentialfunktion 1
- Einführung in die Differentialrechnung
- Differenzen- und Differentialquotient
- Kopie von Differenzen- und Differentialquotient
- Differentialquotient - CAS
- Lupe und Tangente
- Grafisches Ableiten
- Grafisches Ableiten
- Ableitungsfunktion
- Ableitung elementarer Funktionen
- Ableitungsfunktion
- Weg-Zeit-Diagramm
Ableitung der Exponentialfunktion 1
Ableitung der Exponentialfunktion
1. Bewege den Punkt T(0/1) mit der Maus entlang der Funktion. Zeichne den Graphen der Ableitungsfunktion im Intervall [-4;3], in dem Du die Tangentensteigung m in Einer-Schritten in dein Heft überträgst und einzeichnest. Anschließend verbinde die Steigungswerte miteinander, so dass der Graph der Ableitungsfunktion entsteht. [br][br]2. Was fällt Dir auf?[br]Um welchen Funktionstyp handelt es sich bei der Ableitung? Notiere[br]Deine Vermutung im Heft. Führe die Aufgaben 1 und 2 ggf.[br]nochmal mit einer anderen Exponentialfunktion (z.B. f(x)=4^x) durch, indem Du in[br]das Algebrafenster links neben dem Koordinatensystem klickst (doppelt) und f(x)=2^x veränderst. [br][br]3. Aktiviere den Punkt A (Häkchen bei Punkt A setzen) und beobachte die Spur der Steigungsfunktion, wenn Du T wieder verschiebst. Beschreibe den Verlauf der Ableitungsfunktion.
Kopie von Differenzen- und Differentialquotient
[b]Definition[/b][br]Sei f eine Funktion [math]f: \, ]a; b[ \rightarrow\mathbb{R}[/math].[br]Dann heißt [b]f[/b] an einer Stelle [math]x_0\in]a; b[[/math] [b]differenzierbar[/b], wenn der Grenzwert [br] [math] \lim_{h\to 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h} \qquad[br]\left(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f\left(x_0+ \Delta x \right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} = [br]\lim_{x \to x_0} \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right)[/math][br]existiert.[br][br]In dem Applet ist der Graph der Funktion f: R → R; f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.[/*][*]Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2 und 1,1 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B. [br][/*][*]Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?[/*][*]Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch.[/*][/list]
Grafisches Ableiten
Der Wert k zeigt die Steigung der Tangente im Punkt P an.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Spielen Sie die Animation ab.[br]Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein.
Ableitung elementarer Funktionen
Im oberen Grafikfenster wird eine Funktion vorgegeben, deren Ableitung zu bestimmen ist.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Gib in das Eingabefeld den Funktionsterm der Ableitungsfunktion ein.[br]Falls deine Antwort nicht korrekt ist, kannst du die richtige Lösung anzeigen lassen.[br]Übe an einigen weiteren Funktionen des Berechnung der Ableitung.