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Einführung Differentialrechnung
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1. Rückschau und Wiederholung
- Ableitung der Exponentialfunktion 1
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2. Einführung in die Differentialrechnung
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3. Differenzen- und Differentialquotient
- Kopie von Differenzen- und Differentialquotient
- Differentialquotient - CAS
- Lupe und Tangente
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4. Grafisches Ableiten
- Grafisches Ableiten
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5. Ableitungsfunktion
- Ableitung elementarer Funktionen
- Ableitungsfunktion
- Weg-Zeit-Diagramm
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Einführung Differentialrechnung
Daniel Hauck, Oct 13, 2016
Wie groß ist die Steigung? Gib die Änderungsrate an? Rückschau aus der Eingangsklasse: - Was ist eine Funktion und welche Darstellungsarten gibt es? - Welche Funktionsarten gibt es? - Verschiedene Berechnungen (Nullstellen, Schnittpunkte, Veränderung von Funktionsgraphen, Hoch- und Tiefpunkte, Grenzwert, Symmetrie, Monotonie) - Anwendungen in verschiedenen Zusammenhängen In diesem Buch geht es um...
Table of Contents
- Rückschau und Wiederholung
- Ableitung der Exponentialfunktion 1
- Einführung in die Differentialrechnung
- Differenzen- und Differentialquotient
- Kopie von Differenzen- und Differentialquotient
- Differentialquotient - CAS
- Lupe und Tangente
- Grafisches Ableiten
- Grafisches Ableiten
- Ableitungsfunktion
- Ableitung elementarer Funktionen
- Ableitungsfunktion
- Weg-Zeit-Diagramm
Ableitung der Exponentialfunktion 1
Ableitung der Exponentialfunktion
1. Bewege den Punkt T(0/1) mit der Maus entlang der Funktion. Zeichne den Graphen der Ableitungsfunktion im Intervall [-4;3], in dem Du die Tangentensteigung m in Einer-Schritten in dein Heft überträgst und einzeichnest. Anschließend verbinde die Steigungswerte miteinander, so dass der Graph der Ableitungsfunktion entsteht.
2. Was fällt Dir auf?
Um welchen Funktionstyp handelt es sich bei der Ableitung? Notiere
Deine Vermutung im Heft. Führe die Aufgaben 1 und 2 ggf.
nochmal mit einer anderen Exponentialfunktion (z.B. f(x)=4^x) durch, indem Du in
das Algebrafenster links neben dem Koordinatensystem klickst (doppelt) und f(x)=2^x veränderst.
3. Aktiviere den Punkt A (Häkchen bei Punkt A setzen) und beobachte die Spur der Steigungsfunktion, wenn Du T wieder verschiebst. Beschreibe den Verlauf der Ableitungsfunktion.
Kopie von Differenzen- und Differentialquotient
Definition
Sei f eine Funktion .
Dann heißt f an einer Stelle differenzierbar, wenn der Grenzwert
existiert.
In dem Applet ist der Graph der Funktion f: R → R; f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.
Aufgabe
- Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.
- Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2 und 1,1 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B.
- Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?
- Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch.
Grafisches Ableiten
Der Wert k zeigt die Steigung der Tangente im Punkt P an.
Aufgabe
Spielen Sie die Animation ab.
Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein.
Ableitung elementarer Funktionen
Im oberen Grafikfenster wird eine Funktion vorgegeben, deren Ableitung zu bestimmen ist.
Aufgabe
Gib in das Eingabefeld den Funktionsterm der Ableitungsfunktion ein.
Falls deine Antwort nicht korrekt ist, kannst du die richtige Lösung anzeigen lassen.
Übe an einigen weiteren Funktionen des Berechnung der Ableitung.
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